El triángulo de Jayam

Nos preguntábamos la semana pasada por una fórmula que permitiera hallar el enésimo número tetraédrico en función de n sin necesidad de sumar los n primeros números triangulares; hela aquí (¿puedes demostrarla?):

Tn = n(n + 1)(n + 2)/6

En el caso de n = 22:

22 x 23 x 24/6 = 2024

Por lo tanto, la fórmula confirma que 2024 es el vigésimo segundo número tetraédrico.

En cuanto a la segunda pregunta de la semana pasada, hay cuatro números que son a la vez tetraédricos y triangulares, los dos primeros fáciles de hallar y los otros dos no tanto: 10, 120, 1540 y 7140 (¿es casual que todos terminen en 0?), que son, respectivamente, el tercer, el octavo, el vigésimo y el trigésimo cuarto número tetraédrico (así como el 4º, 15º, 55º y 119º número triangular).

Y con respecto a la tercera pregunta, la más difícil (por no decir imposible a nivel de matemática recreativa), solo hay tres números tetraédricos que son cuadrados perfectos, como demostró A. J. Meyl en 1878. Los dos primeros son triviales: T1 = 1 y T2 = 4, pero el tercero es difícilmente alcanzable: T48 = 140² = 19600.

Dicho sea de paso, el único número tetraédrico que es también un número piramidal cuadrado es el 1, como demostró el matemático holandés Frits Beukers en 1988. Obsérvese el contraste entre la facilidad de encontrar el 1 como número coincidente y la dificultad de demostrar que es el único.

El triángulo de Pascal, Tartaglia, Jayam…

Si observamos el famoso triángulo de Pascal, también conocido como triángulo de Tartaglia, en el que, en cada fila, los números comprendidos entre los 1 laterales son la suma de los dos que tiene justo encima, vemos que la tercera diagonal, tanto por la derecha como por la izquierda, es la secuencia de los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28…, mientras que en la cuarta diagonal tenemos los tetraédricos: 1, 4, 10, 20, 35, 56…

En Occidente este fascinante triángulo numérico se conoce como triángulo de Pascal o de Tartaglia, en honor del matemático francés y el algebrista italiano que lo estudiaron en profundidad; pero en realidad ya era conocido en Oriente desde mucho antes. En el siglo XI, los matemáticos persas Al-Karayí y Omar Jayam analizaron extensamente sus propiedades, por lo que en Irán y otros países orientales se lo conoce como triángulo de Jayam. Y los chinos, como en casi todo, tienen sus propios precursores, como Jia Xian (1010-1070) y, muy especialmente, Yang Hui (1238-1298), que también estudió los cuadrados mágicos y las potencias de binomios, por lo que en China el triángulo numérico se conoce como triángulo de Yang Hui.

Y si este triángulo tienen muchos nombres, muchos más son los tesoros matemáticos que esconde. Invito a mis sagaces lectoras/es a buscar algunos:

¿Cómo se relaciona el triángulo de Jayam (yo prefiero llamarlo así en honor del gran poeta y matemático persa) con el número e?

¿Podemos localizar en él la sucesión de Fibonacci?

¿Puede servir para determinar la primalidad de un número?

Sin embargo, que yo sepa, y pese a que el número π aparece donde menos se lo espera, no hay manera de relacionarlo con nuestro versátil triángulo numérico. ¿O sí?

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