2024 y los números tetraédricos

He de empezar subsanando una omisión: la semana pasada hablé del 2024 y de los números piramidales cuadrados, y no mencioné que 2024 también es un número piramidal, aunque no cuadrado sino triangular. Afortunadamente, mis amables lectoras/es suelen estar al quite: Javier Tamames me recordó que 2024 es un número tetraédrico (como también se denominan los números piramidales triangulares) e Ignacio Larrosa mandó una elocuente visualización en forma de pirámide triangular de esferas apiladas, cuyos 22 niveles suman 2024.

Una pirámide cuya base es un triángulo es un tetraedro, y por ello los números piramidales triangulares también se llaman tetraédricos. Si en la visualización del apilamiento de esferas vamos sumando las de cada nivel, empezando por arriba, obtenemos la secuencia de los números tetraédricos (correspondientes al número de esferas de los tetraedros de 1, 2, 3, 4… esferas por cada lado): 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364…

Los sucesivos niveles de la pirámide forman, a su vez, la secuencia de los números triangulares (visualizables como triángulos equiláteros de esferas):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78…

Y, por tanto, el enésimo número tetraédrico (Tn) es la suma de los n primeros números triangulares:

T1 = 1

T2 = 1 + 3 = 4

T3 = 1 + 3 + 6 = 10

T4 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20

T5 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

…

T22 = 1 +3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28… + 210 + 231 + 243 = 2024

¿Puedes hallar una fórmula que permita determinar que el vigésimo segundo número tetraédrico es 2024 sin necesidad de efectuar la larga suma anterior?

Un poco más difícil: al cotejar las dos listas anteriores, vemos una coincidencia: el 10, lo que significa que el tercer número tetraédrico es igual al cuarto número triangular. ¿Puedes encontrar más números que sean a la vez triangulares y tetraédricos?

Más difícil todavía: entre los primeros números tetraédricos hay dos que son cuadrados perfectos: 1 y 4. ¿Puedes encontrar alguno más o demostrar que no existen?

Las cartas de Zener

Además de maestro de divulgadores científicos, Martin Gardner fue un implacable desenmascarador de falacias, seudociencias y paranormalidades varias, y a veces usaba irónicamente los argumentos de los magufos, o sus instrumentos, como materia prima de sus pasatiempos matemáticos.

En un interesante artículo traído a colación por Manuel Amorós, Gardner parte de las cartas de Zener (hoy caídas en un merecido olvido, pero antaño muy populares), utilizadas para evaluar supuestas capacidades telepáticas, para plantear un interesante problema de recubrimiento, que ha suscitado un animado debate entre las/os lectoras/es (ver comentarios de la semana pasada).

¿Cuáles de estos cinco símbolos pueden dibujarse álef 1 veces sobre un papel, suponiendo que se trazan con líneas ideales, sin grosor, y que no se solapan ni se cortan entre ellos? Los símbolos pueden ser de distintos tamaños, pero han de ser semejantes geométricamente. Recordemos que álef 1 es el infinito, no numerable, de los números reales.

Resulta que todos los símbolos menos uno pueden dibujarse álef 1 veces. ¿Puedes decir cuál es y por qué? Una doble pregunta con dos niveles de dificultad, porque es relativamente fácil demostrar que los cuatro símbolos dibujables innumerables (literalmente) veces lo son, con lo que queda identificado, por eliminación, el que no lo es. Pero demostrar por qué no lo es ya no resulta tan sencillo, y el propio Gardner se limita a esbozar una vía de resolución no del todo clara.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, X e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.