¿Cuántos números reales existen?

Pese a que pueda sonar extraño, existen diferentes tamaños de infinito. De hecho, existe una larga jerarquía de infinitos, cada uno mayor que el anterior. El menor infinito se llama alef_0 y es el tamaño —o cardinal— de la colección de todos los números naturales: 0, 1, 2, …. El siguiente tamaño de infinito recibe el nombre de alef_1, el siguiente alef_2, después viene alef_3… y así sucesivamente. A finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor demostró que el cardinal del conjunto de los números reales —que son todos aquellos que aparecen en la recta real— es estrictamente mayor que alef_0. Pero, ¿exactamente cuántos números reales existen? ¿Alef_1, alef_2, alef_3, ….?

Cantor optó por la respuesta más sencilla y conjeturó que la respuesta es alef_1, es decir, el siguiente tamaño de infinito más pequeño después del de los números naturales. Esta afirmación se conoce como la “hipótesis del continuo” (HC) y, hasta su muerte, en 1918, Cantor estuvo obsesionado con demostrarla. En 1900, David Hilbert también incluyó este problema como el primero de su famosa lista de problemas para el nuevo siglo. Tuvieron que pasar varias décadas hasta que se obtuvo el primer resultado significativo.

El área de las matemáticas que estudia estas cuestiones es la teoría de conjuntos, inventada —o descubierta— por Cantor a finales del siglo XIX y, poco más tarde, formalizada a través de la teoría axiomática denominada ZFC; Z por Ernst Zermelo, F por Abraham Fraenkel, y C por el axioma de elección (axiom of choice, en inglés). Desde hace un siglo, la teoría ZFC proporciona una base sólida y simple —los únicos ingredientes son los conjuntos y sus elementos, que también son conjuntos— al edificio de las matemáticas.

No solo podemos demostrar la existencia de los diferentes tamaños de infinito y compararlos, sino también que, dado cualquier conjunto X, siempre existe su cardinal, representado mediante la expresión|X|

Trabajando en esta teoría es posible modelar o construir la mayoría de los objetos que pueblan las matemáticas y también demostrar la mayoría de teoremas que aparecen en las diferentes áreas de esta disciplina. En concreto, no solo podemos demostrar la existencia de los diferentes tamaños de infinito y compararlos, sino también que, dado cualquier conjunto X, siempre existe su cardinal, representado mediante la expresión|X|.

En 1938, Kurt Gödel demostró que si la teoría ZFC es consistente —­­es decir, si no es posible llegar a una contradicción a partir de los axiomas de ZFC—, entonces la teoría obtenida al añadir la HC como axioma a ZFC también es consistente. Este resultado parece sugerir que, si se demostrara la consistencia de la teoría ZFC, entonces sabríamos que la hipótesis del continuo es cierta, pero no es así. Lo que verdaderamente dice es que, si la teoría ZFC es consistente, entonces no es posible demostrar con ella la falsedad de la hipótesis del continuo.

Por otro lado, en 1963 Paul Cohen demostró que si la teoría ZFC es consistente, también lo son otras teorías en las que el cardinal del continuo (designado por|R|) toma otros valores distintos de alef_1. Para obtener este resultado —por el que recibió la medalla Fields en 1966—, Cohen inventó el método de forcing. Esta es una técnica muy general mediante la cual, a partir de un universo, M, en el que se satisface la teoría ZFC —cuya existencia equivale a demostrar la consistencia de ZFC—, es posible construir el mínimo universo M[g] que también cumple la teoría ZFC y contiene todos los objetos de M, así como un nuevo objeto g.

Para dar una idea de cómo funciona este método, supongamos que el elemento que queremos añadir a M es una sucesión infinita formada por ceros y unos. Esta sucesión debe ser distinta de todas las que contiene M. En particular, esta sucesión evitará cualquier patrón de regularidad definible en M. Por ejemplo, los llamados reales de Cohen sobre M son sucesiones de este tipo.

A pesar de proporcionar la fundamentación estándar de las matemáticas, la teoría ZFC es demasiado débil para determinar exactamente cuántos reales existen. ¿Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matemático?

Los reales de Cohen sobre M se definen empleando el concepto de conjunto denso de sucesiones. Si tenemos un conjunto D de sucesiones finitas, decimos que D es denso si cualquier sucesión finita de ceros y unos se puede extender a una más larga que está en D. Por ejemplo, es denso el conjunto de sucesiones que son distintas de cero en alguna posición, ya que cualquier sucesión se puede extender a una de este tipo, simplemente añadiendo un uno en su posición final. Pues bien, un real de Cohen sobre M es una sucesión c que cumple que cualquier conjunto denso en M contiene algún segmento inicial de c. Se puede demostrar que ningún real de Cohen sobre M pertenece a M y que, además, existe el mínimo modelo M[c] que cumple ZFC.

Siguiendo este método es posible añadir, no uno, sino muchos reales de Cohen, y diseñar un universo de ZFC en el que se verifica |R|=alef_2, o bien|R|=alef_3, alef_4.... Por tanto, si ZFC es una teoría consistente, también lo serán las teorías en las que se añade, a ZFC, la afirmación de que |R|=alef_2,|R|=alef_3 o |R|=alef_4 ..., y en todas ellas la HC es falsa. Así, uniendo este teorema al de Gödel, sabemos que si la teoría ZFC es consistente, no permite demostrar que la hipótesis del continuo es cierta, ni falsa.

Así pues, a pesar de proporcionar la fundamentación estándar de las matemáticas, la teoría ZFC es demasiado débil para determinar exactamente cuántos reales existen. ¿Significa esto que esta pregunta no tiene sentido en nuestro universo matemático? Tal como veremos en un futuro artículo, esto no es necesariamente así.

David Asperó es ‘associate professor’ en la Universidad de East Anglia (Reino Unido).

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.