Axiomas, las reglas del juego de las matemáticas

Un requisito indispensable para poder disfrutar jugando al ajedrez –o al backgammon, al go o a las damas– es interiorizar las reglas y los movimientos básicos de las piezas. Salvando las distancias, algo semejante sucede con las matemáticas, cuyas normas de base se llaman axiomas o postulados. Estos son principios fundamentales que permiten desarrollar las matemáticas, dentro de un marco ontológico coherente. La diferencia fundamental entre los axiomas y los resultados –o teoremas– es que éstos últimos se obtienen a partir de los axiomas usando un número finito de deducciones lógicas, mientras que de los axiomas se asume implícitamente su veracidad, sin tratar de demostrarlos.

Contrariamente a la opinión común de que todo está prescrito en matemáticas, distintas elecciones de axiomas pueden dar lugar a matemáticas distintas. Entonces, ¿cómo se eligen esos cimientos sobre los que construiremos el pensamiento matemático? ¿Hay libertad al escogerlos? Lo cierto es que la selección no es ni fortuita ni aleatoria; hay dos características fundamentales que destacan de una buena elección. Por un lado, deben ser leyes naturales e intuitivas que representen el carácter universal de las matemáticas, pero, por otro, también deben ser maleables y lo suficientemente genéricas para permitirnos tratar universos matemáticos inimaginables. En particular, si un axioma puede ser demostrado a partir de los otros, es redundante e innecesario.

Como toda regla o ley, los axiomas no están exentos de ser modificados e incluso rechazados por la comunidad matemática

Sin embargo, como toda regla o ley, los axiomas no están exentos de ser modificados e incluso rechazados por la comunidad matemática. Buen ejemplo de ello fue lo que ocurrió con los postulados que planteó Euclides para desarrollar la geometría, en concreto, con el axioma de las paralelas: por un punto exterior a una recta dada, pasa una única recta paralela. El mismo Euclides evitó usarlo en las primeras proposiciones. Aunque este enunciado parezca evidente e indiscutible, muchos matemáticos trataron, durante siglos, de demostrar que era una consecuencia de los otros cuatro axiomas y, por tanto, que era superfluo. Sin embargo, del mismo modo que el ajedrez daría lugar a un juego completamente distinto si quitásemos el caballo del juego, al eliminar el quinto postulado de Euclides apareció una nueva geometría, llamada hiperbólica, calificada de imaginaria por sus descubridores János Bolyai y Nikolai Lobachevsky en el siglo XIX y utilizada décadas después en la teoría de la relatividad general y la cosmología.

Otro ejemplo de revisionismo de axiomas y metodologías matemáticas dio lugar al nacimiento de la disciplina de la lógica matemática. La llamada crisis fundacional de las matemáticas, originada a comienzos del siglo XX, puso en tela de juicio los fundamentos de base de la disciplina, a raíz de paradojas como la de Berry, propuesta por Bertrand Russell. Esta plantea lo siguiente: puesto que nuestro vocabulario es finito, limita cuántos objetos podemos definir usando menos de doce palabras. Así, por ejemplo, habrá números naturales que no podemos describir usando menos de 13 palabras. Entonces, consideramos N, el “menor número natural que no podemos describir usando menos de trece palabras”. Sin embargo, para describir N hemos usado solo 12 palabras (las que están entrecomilladas), lo cual nos conduce a una contradicción. Una solución a esta paradoja, o falacia de círculo vicioso, consiste en evitar construir colecciones –o conjuntos– de elementos a partir de una frase autoreferencial.

¿Qué axiomas permiten, por tanto, construir conjuntos? ¿Es posible definir intrínsecamente las nociones de conjuntos y elementos de forma natural e intuitiva? Varios matemáticos propusieron a principios del siglo XX diversos tratamientos axiomáticos para intentar formalizar la teoría de conjuntos, del mismo modo que hizo Euclides con la geometría, con la esperanza de demostrar la coherencia interna de las matemáticas de forma autosuficiente. Pero, a principios del 1930, el segundo teorema de incompletitud de Kurt Gödel supuso un jarro de agua fría a la búsqueda, ya que muestra que no existe un formalismo global de la teoría de conjuntos capaz de verificar que no hay contradicciones internas.

El axioma de extensionalidad afirma que dos conjuntos son iguales exactamente cuando contienen los mismos objetos –o elementos– mientras el axioma de infinitud permite construir el conjunto de los números naturales

Sin embargo, con una actitud más pragmática frente a las implicaciones filosóficas de los resultados de Gödel, la comunidad matemática usa hoy en día uno de esos sistemas desarrollados a comienzos de siglo XX. En concreto, el sistema axiomático ZFC propuesto por Ernst Zermelo en 1908 y mejorado una quincena de años más tarde por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem. Entre sus postulados está el axioma de extensionalidad, el cual afirma que dos conjuntos son iguales exactamente cuando contienen los mismos objetos –o elementos–, así como el axioma de infinitud, que permite construir el conjunto de los números naturales.

Zermelo –que ocupó una cátedra de honor en la Universidad de Friburgo, hasta que tuvo que abandonarla durante el tercer Reich al negarse a comenzar las clases con el saludo nazi–, también formuló el Axioma de Elección, que afirma que dada una colección de conjuntos no vacíos, es posible escoger un elemento de cada conjunto. Este postulado, aunque es omnipresente en las matemáticas, no estuvo libre de debate, porque permite demostrar la existencia de objetos matemáticos de forma no constructiva. En la década de 1930, Kurt Gödel demostró que el axioma de elección no conduce a ninguna contradicción interna y años más tarde Paul Cohen probó que no es consecuencia de los otros axiomas de Zermelo-Fraenkel. En su demostración, Cohen desarrolló una técnica llamada forcing, por la cual fue galardonado con la Medalla Fields en 1966. Esta poderosa herramienta permite producir, incluso hoy en día, nuevos universos matemáticos con propiedades inesperadas.

Amador Martín Pizarro es profesor titular en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania).

Daniel Palacín Cruz es investigador en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania) y profesor visitante en la Universidad Complutense de Madrid.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G-Longoria (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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