Gödel y los límites de las matemáticas

Una parte de la comunidad científica se aferra con fervor a la consideración de las matemáticas como un cuerpo de conocimiento coherente, sin influencias personales, de carácter universal y absoluto. Los enunciados matemáticos deben ser ciertos o falsos, sin medias tintas, a diferencia de la ambigüedad y los tonos grises que encontramos en nuestro día a día. Por eso, los teoremas de indecidibilidad del matemático austriaco Kurt Gödel causan la misma molestia que tener que explicar la metáfora de las flores y las abejitas a un infante curioso que pregunta sin pudor, intentando comprender el mundo que le rodea. Lo mejor sería evitar hablar de ello, y seguir pretendiendo que la matemática es una ciencia exacta y absoluta sin límites.

Gödel, nacido el 28 de abril de 1906 en Brno (hoy parte de la República Checa), demostró como parte de su tesis doctoral, en 1929, el primer teorema de incompletitud, que afirma que todo sistema axiomático coherente que englobe las propiedades aritméticas básicas de los números naturales padece una dicotomía fundamental: o bien no se puede implementar en un algoritmo, o bien los axiomas no son capaces de determinar la veracidad de todos los enunciados posibles. Pese a que no hemos definido términos como veracidad o algoritmo, vamos a pretender que entendemos su significado. Los resultados de Gödel parecen a primera vista un trabalenguas: parafraseando con cierta libertad, Gödel demostró que en todo “universo matemático” imaginable habrá propiedades que no podemos demostrar.

Los enunciados matemáticos indecidibles son imposibles de evitar. Un ejemplo es la hipótesis del continuo, que afirma que todo subconjunto infinito de los números reales se puede identificar con los números naturales o con los reales. Otro ejemplo es el axioma de elección, que afirma que dada una colección de cajas (o conjuntos) no vacías, es posible escoger un elemento de cada caja. Puede resultar sorprendente que este axioma sea problemático, sobre todo si sólo pensamos en un número finito de cajas. Sin embargo, en un contexto infinito, tiene consecuencias inesperadas: Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron partiendo de dicho axioma que se puede descomponer una bola de madera maciza en un número finito de piezas, las cuales, recolocadas de cierta manera, dan como resultado dos bolas del mismo volumen. No hace falta que el lector busque el serrucho en su caja de herramientas, porque la construcción es puramente teórica.

La demostración del teorema de incompletitud se apoya en dos ideas claves: por un lado, Gödel tuvo la destreza de codificar frases y enunciados a través de números. Al hablar de números, ahora hablamos también de enunciados. Por otro lado, utilizó un argumento diagonal semejante al que usó Georg Cantor para demostrar que, pese a que hay tantos números racionales como naturales, hay muchos más números reales que naturales.

A raíz de los trabajos de Gödel se consolidaron diversas disciplinas dentro de la lógica matemática: por un lado, la teoría de conjuntos como paradigma de un formalismo autosuficiente, la teoría de la recursión y de la demostración, con un enfoque sintáctico y algorítmico, así como la teoría de modelos, en la que trabajamos los autores de este artículo, que se concentra en las propiedades semánticas de los objetos matemáticos.

La física fue otra de las áreas de interés de Gödel, cultivada desde sus años de estudiante en la Universidad de Viena, y reforzada gracias a su larga amistad con Albert Einstein, durante el periodo en el que ambos eran miembros del Institute of Advanced Studies en Princeton, cuando se vieron obligados a abandonar Alemania debido al tercer Reich. Gödel demostró que la posibilidad de viajar en el tiempo no contradice los postulados de la relatividad general y le ofreció la demostración a Einstein como regalo de 70 cumpleaños.

Durante el último periodo de su vida, Gödel entró en una etapa oscura, en la que dejó de publicar y tuvo crisis psicóticas constantes, con manías persecutorias. En sus últimos años estaba convencido de poder demostrar con argumentos lógicos la existencia de una entidad superior, que podemos llamar Dios sin atribuirle ninguna religión en particular. La neurosis de Gödel le hizo temer que sus coetáneos en Princeton le quisieran envenenar, con lo que solo aceptaba comer lo que su mujer, Adele, le preparase. Al ser ésta hospitalizada seis meses por una intervención médica, Gödel, esclavo de su rigor lógico, murió de inanición el 14 de enero de 1978, pesando tan sólo 29 kilos. Afortunadamente, su herencia sigue viva en las matemáticas de hoy en día.

Elías Baro González es contratado doctor interino en el Departamento de Álgebra, Geometría y Topología de la Universidad Complutense de Madrid.

Amador Martín Pizarro es profesor en la Universidad Albert-Ludwig de Friburgo (Alemania).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT)