La partida infinita

El problema de los 16 caballos, planteado la semana pasada, no ha sido resuelto por ningún lector, así que daré una pista tetradimensional (que, de paso, da idea de la singular belleza del problema) por si alguien se anima a intentarlo: el diagrama de la disposición de los 16 caballos en el tablero y sus amenazas mutuas es la proyección de un hipercubo.

Y quien en vez de subir de dos dimensiones a cuatro prefiera bajar a una, puede abordar el siguiente problema de ajedrez unidimensional, emparentado con el de Guarini (ver artículo anterior), propuesto por nuestro comentarista habitual Luca Tanganelli:

En un tablero de 1x8 con las piezas dispuestas como muestra la figura, el rey y la torre se mueven como siempre mientras que el caballo salta dos casillas a un lado o al otro. Juegan las blancas y ganan.

No se puede hablar del problema de Guarini y sus afines sin mencionar su variante más famosa, que consiste en intercambiar las posiciones de tres caballos blancos y tres caballos negros dispuestos en un tablero de 3x4 como se indica en la figura.

Quienes estén interesados en profundizar en el problema de Guarini y sus variantes, encontrarán un excelente artículo de Raúl Ibáñez para Cuaderno de Cultura Científica en el siguiente enlace: https://culturacientifica.com/2021/01/13/ajedrez-y-matematicas-el-problema-de-guarini/

La sucesión de Thue

A principios del siglo XX, el matemático noruego Axel Thue descubrió la sucesión de números binarios que lleva su nombre (también conocida como sucesión de Thue-Morse, o de Prouhet-Thue-Morse), que se construye de la siguiente manera: el primer término es 0, y los siguientes términos se forman añadiendo a continuación del anterior su complementario (su complemento booleano, que consiste en sustituir cada 0 por un 1 y viceversa). Así, los cinco primeros términos de la sucesión son:

0

01

0110

01101001

0110100110010110

Y aunque parezca que hemos abandonado el tablero de ajedrez, no lo hemos hecho todavía, pues el gran ajedrecista y matemático neerlandés Max Ewe (campeón del mundo entre 1935 y 1937) descubrió que la sucesión de Thue se podía utilizar para burlar la regla de la triple repetición y prolongar una partida de ajedrez indefinidamente.

La regla de las tres repeticiones establece que, si un jugador repite tres veces seguidas la misma jugada, la partida es tablas. ¿Cómo se puede utilizar la sucesión de Thue para lograr una partida infinita? (Solo en teoría, pues en la práctica hay otras reglas que limitan la duración de una partida de ajedrez, como la de las 50 jugadas seguidas sin capturas ni movimientos de peones).

La sucesión de Thue tiene notables propiedades y aplicaciones. Permite, por ejemplo, abordar un interesante problema numérico planteado por el Dr. Matrix, personaje creado por el maestro Martin Gardner:

¿Cuál es la longitud máxima de una cadena formada por los dígitos 1 y 2 sin repetir ningún dígito ni ninguna secuencia de forma consecutiva? Si empezamos por el 1, el siguiente dígito tiene que ser el 2, pues en 11 hay dos 1 consecutivos; y al 12 solo podemos añadirle un 1 para obtener 121. Y ya no podemos seguir, pues si añadimos un 1 tenemos dos 1 consecutivos y si añadimos un 2 obtenemos 1212, con dos 12 consecutivos. ¿Y con tres dígitos, 1, 2 y 3, cuál es la cadena más larga que podemos formar de acuerdo con la misma regla? (Tomado del libro The Magic Numbers of Dr. Matrix, Martin Gardner, 1985).

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