Bertrand Russell y los fundamentos de las matemáticas

Este mes de febrero se cumplió el quincuagésimo aniversario de la muerte del matemático, filósofo y escritor Bertrand Russell. Su prolífica obra y proteica actividad de intelectual, comprometida e inconformista, tuvieron una profunda influencia en la educación sentimental y política de muchos miembros de mi generación. Mucho antes de que existiera Internet y se popularizara el término influencer, Russell ejerció como tal con autoridad y garbo. Aunque aquella no resultó ser tarea exenta de riesgos: fue encarcelado dos veces por defender sus ideas, la primera en tiempos de la Primera Guerra Mundial y la segunda, cuando ya era anciano, y fue expulsado de la Universidad de Cambridge en 1916. También lo destituyeron, ¡ay!, de mi querida Universidad de Chicago, y del City College de Nueva York, por sus opiniones sobre el matrimonio y la libertad sexual, en los años 40 del siglo pasado.

Luchó a favor del pacifismo en la Gran Guerra, hizo campaña en pro del desarme nuclear, denunció los crímenes en la guerra de Vietnam, se opuso al nazismo y al estalinismo y defendió modernos puntos de vista sobre la educación y la sexualidad. Todo aquello le hizo tremendamente atractivo para la juventud universitaria, a la que fascinaba con sus ideas y sus frases brillantes: “Los científicos se esfuerzan en hacer posible lo imposible. Los políticos en hacer lo posible imposible”; “Entre todas las formas de cautela, la cautela en el amor es, probablemente, la más letal para la auténtica felicidad”; “Gran parte de las dificultades por las que atraviesa el mundo se deben a que los ignorantes están completamente seguros y los inteligentes llenos de dudas”; “La buena vida es una vida inspirada por el amor y guiada por el conocimiento”.

Bertrand Russell popularizó una paradoja especialmente clara y sencilla que mostraba las carencias de la fundamentación conjuntista

Contribuyó al desarrollo de la lógica matemática señalando los problemas sobre sus fundamentos que implicaban las paradojas, o antinomias, presentes en la teoría de conjuntos. Los números llamados naturales, 1, 2, 3,…, son elementos básicos de nuestro idioma y de nuestra vida cotidiana que, entre otros usos, empleamos para contar, ordenar, sumar, multiplicar y repartir. Sin embargo, su definición precisa no es tan evidente.

Hacia finales del siglo XIX, el lógico Gottlob Frege y el matemático Georg Cantor trataron de dar una definición reduciendo la noción de número a la “más primitiva” de conjunto o agregado, siguiendo el modo de funcionamiento de nuestro cerebro que entiende los números contando los elementos de los conjuntos. No obstante, Cantor se dio cuenta enseguida de que el uso ingenuo de la noción de conjunto llevaba a ciertas antinomias que era preciso dilucidar.

Sin embargo, fue Bertrand Russell quién popularizó una paradoja especialmente clara y sencilla, que mostraba las carencias de esa fundamentación conjuntista. Definió un conjunto ordinario como aquel que no se contiene a sí mismo como elemento; el caso contrario recibe el nombre de extraordinario. Por ejemplo, un conjunto de sillas no es una silla y, por tanto, es ordinario, ya que no se contiene a sí mismo como elemento; mientras que el catálogo de todos los catálogos es, según Russell, un ejemplo de conjunto extraordinario. Consideremos el “conjunto de todos los conjuntos ordinarios”. Claramente no puede ser ordinario, pues si lo fuese, entonces se tendría a sí mismo como elemento y, por tanto, sería extraordinario; pero tampoco puede ser extraordinario, porque, de serlo, tendría que ser ordinario como todos sus elementos.

Los tres tomos de ‘Principia Mathematica’ fueron el resultado de su intento de eliminar las paradojas a través de una axiomática precisa, que llamaron teoría de los tipos

Esta paradoja y otras de índole parecida dieron lugar a la llamada crisis de los fundamentos, y propiciaron el desarrollo de la lógica matemática. En las crisis suelen aparecer caracteres pragmáticos que sugieren olvidar las cuestiones de principio, y proponen que nos centremos en la tarea de establecer unas reglas de juego que sean claras y permitan, manteniendo cierta dignidad, continuar con la tarea. Esa fue la aspiración del gran David Hilbert y la escuela formalista, cuyo rastro encontramos en las axiomáticas de Peano y de Zermelo-Fraenkel. Por su parte, Bertrand Russell, junto a Alfred N. Whitehead, prosiguió con el programa logicista, que quería reducir la matemática a la lógica. Los tres tomos de Principia Mathematica fueron el resultado de su intento de eliminar las paradojas a través de una axiomática precisa, que llamaron teoría de los tipos.

Ambos puntos de vista, logicismo y formalismo, trataban de formular un sistema de axiomas que fuese, a la vez, consistente (es decir, que no diera lugar a contradicciones) y completo (la validez o falsedad de toda proposición podría ser elucidada dentro del sistema). Pero Kurt Gödel echó por tierra estos ensueños de una teoría matemática del todo, con su afamado teorema de incompletitud.

Los Principia Mathematica de Russell y Whitehead son, en cierto sentido, el acta de un proyecto frustrado. Pero contribuyeron grandemente al desarrollo de la lógica matemática, que, en la obra de Kurt Gödel, Paul Cohen, Thoralf Skolem, Alonzo Church, y Alan Turing, entre otros, se ha convertido en una construcción magnífica y útil, sin la que no cabe concebir el desarrollo de la moderna teoría de la computación, y los lenguajes de los ordenadores, que tanto han hecho cambiar el mundo.

Antonio Córdoba es catedrático emérito de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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