La geometría de las lentes progresivas

Para desarrollar tecnologías que mejoren la calidad de visión humana —como gafas o lentillas— es ineludible entender cómo se forman imágenes dentro del ojo y qué defectos pueden aparecer en ese proceso. A finales del s. XIX, el oftalmólogo Allvar Gullstrand (1862-1930) hizo grandes aportaciones a este campo gracias a sus conocimientos autodidactas de geometría diferencial. Desde entonces, la relación entre la óptica visual y la geometría ha seguido dando sus frutos y está detrás de tecnologías revolucionarias como las lentes progresivas.

Las primeras gafas, o lentes oftálmicas, se crearon a finales del siglo XIII en el norte de Italia, probablemente en Venecia. Funcionan compensando los llamados errores refractivos del ojo —miopía, hipermetropía, astigmatismo y presbicia—. Para ello, cambian el lugar donde focalizan los rayos de luz, procurando que converjan en la retina del ojo, mediante la adición o sustracción de lo que se denomina potencia óptica.

La potencia óptica, que se mide en dioptrías, en un punto de una superficie es proporcional a la llamada curvatura media de ese punto. Y la curvatura es, simplemente, un valor numérico que describe la manera en la que se curva un objeto. Por ejemplo, en una carretera, un tramo recto tiene curvatura igual a cero, mientras que una curva cerrada tiene una curvatura grande.

De forma más precisa, en una circunferencia de radio R, la curvatura se define como el inverso del radio (1/R), por lo que es un valor constante. Así, si el tamaño de la circunferencia es muy grande —es decir, R es grande—, la curvatura será pequeña y, por el contrario, si R es pequeño, la curvatura de la circunferencia será grande. Ahora bien, en general, en una curva cualquiera C, la curvatura puede variar en cada punto y, por tanto, se define de la siguiente manera: en cada punto P, la curvatura de C es igual al valor de la curvatura del círculo que “toca” a la curva, esto es, el que solo coincide con C en P.

La lente progresiva perfecta es una quimera: como bien saben los diseñadores, aunque quizá no tanto los usuarios, siempre será imperfecta

El concepto de curvatura se puede extender a una superficie y, entonces, en cada punto de la superficie hay, no solo una, sino muchas curvaturas asociadas. La curvatura media de una superficie en un punto es el valor medio entre la máxima curvatura y la mínima en ese punto.

Pues bien, para compensar defectos como la presbicia, o vista cansada, que es la pérdida de la capacidad del ojo para enfocar objetos cercanos, se emplean lentes diseñadas con una curvatura media más o menos constante —y, por tanto, potencia óptica casi constante—. Sin embargo, cuando aparece junto a un defecto en la visión lejana, como es la miopía, estas lentes no funcionan, ya que para corregir los defectos en la visión lejana y cercana se requieren distintas potencias ópticas. En esta situación, se utilizan las llamadas lentes progresivas, inventadas a principios del siglo XX.

Las lentes progresivas tienen distintas regiones asociadas a cada zona de visión —lejana, intermedia y cercana— en las que proporcionan una potencia óptica diferente. Estas diversas potencias ópticas en la lente se consiguen gracias a variaciones de la curvatura media de la lente. Lo ideal sería diseñar una superficie cuya curvatura media varíe de forma suave, corrigiendo simultáneamente los defectos en la visión lejana, cercana y media pero sin saltos bruscos entre las diferentes regiones y, por tanto, entre las zonas de visión.

Sin embargo, al construir una solución con estas características, siempre aparece otro fenómeno óptico denominado astigmatismo, que provoca que los rayos que inciden en la retina no formen un único punto sino una imagen emborronada. Matemáticamente, el astigmatismo se corresponde con la presencia de un cilindro óptico, definido como la diferencia entre la curvatura máxima y la mínima en un punto de la superficie de la lente.

Esta limitación matemática está plasmada en el llamado teorema de Minkwitz y establece la calidad visual alcanzable con una lente progresiva. En concreto, este teorema determina que, cuando se define una curvatura media variable, con un cierto incremento de la curvatura, el aumento del cilindro es el doble. Por tanto, la lente progresiva perfecta es una quimera: como bien saben los diseñadores, aunque quizá no tanto los usuarios, siempre será imperfecta, aunque puede mejorarse teniendo en cuenta las restricciones que podemos descifrar a través de la geometría.

En 2020 se realizaron importante avances en el conocimiento de estas restricciones, en concreto, se descubieron las llamadas ecuaciones de compatibilidad, que definen todas las relaciones posibles entre el cilindro y la curvatura media en una superficie progresiva suave. Estas ecuaciones establecen límites inviolables a la perfección que pueden alcanzar los progresivos que se diseñan y pueden ser la clave para la mejora de los prototipos.

Sergio Barbero es investigador en el Instituto de Óptica del Consejo Superior de Investigaciones Científicas

María del Mar González es investigadora en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UCM-UC3M)

Ágata Timón G-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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