Las matemáticas del 24

Para entrar en el 2024 sin asuntos pendientes, empecemos viendo las soluciones de los acertijos del maestro Raymond Smullyan propuestos en las dos entregas anteriores.

En el primero de los acertijos, si el letrero II es falso hay una dama tras la puerta I, y por tanto tras al menos una puerta hay una dama, luego el letrero I es cierto. Por consiguiente, no pueden ser falsos ambos letreros, luego los dos son ciertos, luego hay un tigre tras la puerta I y una dama tras la II.

En el segundo acertijo, los letreros II y III hacen afirmaciones mutuamente excluyentes, luego uno de los dos es cierto. Y puesto que como máximo uno de los tres letreros es cierto, el primero es falso, luego la dama está tras la puerta I.

En cuanto al tercero de los acertijos, inspirado en el relato de Edgar Allan Poe El método del doctor Brea y el profesor Pluma (también traducido al castellano como El método del doctor Alquitrán y el profesor Trapaza), me limitaré a dar la solución (el desarrollo es demasiado largo para incluirlo entero), que quienes conozcan el inquietante cuento de Poe habrán adivinado sin necesidad de resolverlo: en ese manicomio al revés, todos los supuestos doctores están locos y todos los supuestos pacientes están cuerdos, pues —según cuenta Poe— en un momento dado los locos se sublevaron, embrearon y emplumaron al personal del centro (de ahí los nombres Brea y Pluma) y los encerraron en las celdas correspondientes.

El problema de las balas de cañón

El número 2024 no da mucho juego desde el punto de vista matemático (¿o sí?), al contrario que su terminación, 24, que no tiene desperdicio y que aparece continuamente en el lenguaje coloquial por el mero hecho de que el día se divide en 24 horas (¿sabes o puedes deducir por qué?). Y aunque la mayoría de los relojes dividen su esfera en 12 partes para mayor comodidad, ya que no suele ser difícil distinguir entre el día y la noche, aún hay relojes históricos (sobre todo los astronómicos) con la esfera dividida en 24 sectores.

Desde el punto de vista matemático, el 24 es un número altamente abundante y altamente compuesto, es un número práctico, es un número de Harshad, es un número refactorizable… Y seguro que mis sagaces lectoras/es le encuentran más propiedades destacables.

Y por si fuera poco, 24 es la única solución no trivial para el famoso problema de las balas de cañón, del que nos hemos ocupado en alguna ocasión. El problema plantea la cuestión de qué números son a la vez cuadrados y cuadrados piramidales. Recordemos que un número piramidal cuadrado se corresponde con un apilamiento piramidal de esferas de base cuadrada, como solían apilarse las antiguas balas de cañón, por lo que su secuencia es 1, 5, 14, 30, 55, 91…

Sería demasiado pedir que demostraras que 24 es la única solución no trivial (la trivial es 1, obviamente) del problema de las balas de cañón, que no fue demostrado hasta 1918 por G. N. Watson —mucho después de ser planteado por el gran matemático francés Édouard Lucas— utilizando funciones elípticas; pero no es demasiado pedir que demuestres que, efectivamente, 24 es una solución.

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