Números mágicos

Debido a un lapsus momentáneo, la entrega anterior se tituló durante unos minutos “La realidad de los números mágicos”. Y como en ciencia no se desaprovecha nada, y menos los errores (que a menudo son de lo más fecundos: de ahí que la expresión “ensayo y error” se haya convertido en el lema de la investigación científica), ese lapsus es un buen pretexto para hablar de los números mágicos y devolverles la titularidad que usurparon por un momento.

Pero antes hay que buscar el tesoro enterrado de la semana pasada. Y así lo ha encontrado Alberto Adán, que, al contrario que el joven aventurero del cuento, sí sabe usar los números imaginarios:

“Si planteas el mapa como el plano complejo y las posiciones del roble, el pino y la horca como tres números complejos, puedes calcular la posición del tesoro. Es útil suponer que la horca es el origen del plano. Andar hacia el roble es situarse en el complejo R, y cambiar la misma distancia tras girar a la derecha es equivalente a sumar a R el complejo Rx(-j) (j es la unidad imaginaria). Con el pino hacemos lo propio: en este caso el giro a la izquierda y caminar la distancia que había hasta el pino equivale a sumar Pxj. El punto medio de la línea entre dos puntos equivale a la semisuma de los dos números complejos, así que el tesoro está en el resultado de hacer (1/2)(R(1-j)+P(1+j)) = (1/2)x(R+P) + (1/2)x(R-P)x(-j). El primer sumando es el punto medio entre R y P, y el segundo es la mitad de la distancia de ir de P a R pero girada a la derecha (por estar multiplicada por -j). Para llegar al tesoro hay que ir del pino al roble en línea recta, pararse en el punto a mitad de recorrido contando los pasos (esto es el primer sumando), girar a la derecha y andar el número de pasos contados (2° sumando)”.

Obsérvese que usa j en vez de i para representar la unidad imaginaria (√-1); ello se debe a que Alberto es ingeniero de telecomunicaciones, y en electrónica la i se puede interpretar como intensidad.

Pero, con un poco de pensamiento lateral, es fácil hallar el tesoro sin conocer los números complejos, tal como señala Javier Ma:

“Aunque el joven no supiese nada de matemáticas, si hubiese leído este artículo podría haber encontrado el tesoro. En efecto, el artículo sugiere que el problema tiene solución independientemente de dónde estuviese la horca, así que bastaría con comenzar a caminar desde cualquier punto; por ejemplo, suponiendo que la horca está en el mismo punto que el roble, el tesoro se encuentra rápidamente”.

Por otra parte, Bretos Bursó ha comentado que “muchos teoremas de geometría euclídea plana se pueden probar rápidamente usando números complejos. Por ejemplo, el llamado teorema de Napoleón”. Oportuna observación que dará pie a una próxima entrega.

La fórmula de Weizsäcker

Para la física de partículas, los números 2, 8, 20, 28, 50, 82 y 126 (y tal vez alguno más) son “mágicos”, porque los núcleos atómicos que contienen esos números de nucleones (protones y neutrones) son más estables de lo previsto por la famosa fórmula de Weizsäcker o FSM (fórmula semiempírica de la masa), propuesta en 1935 por el físico y filósofo alemán Carl Friedrich Weizsäcker (1917-2007); una fórmula demasiado compleja para explicarla aquí (incluso para reproducirla), pero de obligada mención, en tanto que los átomos con un número mágico de nucleones pueden considerarse singularidades de dicha regla empírica.

Además de los siete citados, hay otros números de nucleones candidatos a mágicos, como 6, 14, 16, 30, 32 y 34. Todos ellos son números obtenidos mediante la observación y la experimentación en los aceleradores de partículas; pero un pitagórico diría que ha de haber una estructura matemática tras esa secuencia. ¿Puedes hallar alguna? Recomiendo ceñirse a la primera lista de siete números (pero, huelga decirlo, no tienes por qué hacerme caso).

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