La paradoja de Simpson

Con respecto a la paradoja de Ellsberg, vista la semana pasada, esto es lo que dice nuestro “usuario destacado” Manuel Amorós:

Podríamos pensar que la situación de las bolas amarillas y negras es simétrica y, por tanto, la probabilidad de sacar amarilla es la misma que la de sacar negra, lo que unido a que la probabilidad de sacar roja es 1/3, nos lleva a que las tres probabilidades son iguales. En tal caso es indiferente elegir A o B. Y algo parecido ocurre en la segunda elección, donde la probabilidad de ganar es 2/3 en ambos casos.

Entiendo que la situación propuesta sería equivalente a la siguiente: tenemos 61 urnas. En todas hay 30 bolas rojas. En la primera urna hay, además, 0 bolas negras y 60 amarillas; en la segunda, 1 blanca y 59 amarillas, etc. Se elige una urna al azar y se saca una bola. Modelizado así se ve que los tres colores tienen la misma probabilidad y desaparece el misterio.

(Seguro que mis sagaces lectoras/es advierten algún paralelismo con el problema de las bolas blancas y negras de Abdul, en la entrega El condenado y las urnas, dedicada a George Gamow).

Efecto Yule-Simpson

La teoría de la decisión, ligada al cálculo de probabilidades, da lugar a otras interesantes paradojas. Veamos un ejemplo:

Tienes que pasar tres pruebas consecutivas. En la primera prueba, hay dos bolsas, A1 y B1, en las que hay, respectivamente, 6 bolas blancas y 5 negras, y 4 bolas blancas y 3 negras. Tienes que elegir una de las dos bolsas (cuyos contenidos conoces) y sacar una bola al azar. Si es negra, quedas eliminado, y si es blanca pasas a la siguiente prueba.

En la segunda prueba, hay otras dos bolsas, A2 y B2, en las que hay, respectivamente, 3 bolas blancas y 6 negras, y 5 bolas blancas y 9 negras. Eliges una bolsa, metes la mano, y si sacas una bola blanca pasas a la prueba siguiente.

En la tercera prueba, tienes que elegir entre la bolsa A, en la que se han juntado las bolas de A1 y A2, y la bolsa B, en la que se han juntado las bolas de B1 y B2 (tras reintroducir las sacadas anteriormente), y, una vez más, ganas si sacas una bola blanca. ¿Qué bolsa elegirías en cada caso? ¿Te sorprende tu propia respuesta? ¿Por qué?

Este experimento ilustra una paradoja de la teoría de la decisión, bien conocida por los estadísticos, denominada “paradoja de Simpson” en honor al recientemente fallecido matemático británico Edward H. Simpson, famoso por ser el criptoanalista que descifró los mensajes de la Armada italiana durante la Segunda Guerra Mundial. En realidad, la paradoja ya había sido mencionada en 1903 por el estadístico escocés George Udny Yule, y, por otra parte, algunos no la consideran una paradoja propiamente dicha, por lo que prefieren denominarla “efecto Yule-Simpson”.

Además del experimento descrito, hay numerosas situaciones reales que ilustran este equívoco efecto. Uno de los ejemplos más conocidos es el de la demanda contra la Universidad de California, Berkeley, en 1973, por discriminación contra las mujeres. Los resultados de las admisiones para el posgrado parecían claramente discriminatorios:

Hombres: 8.442 solicitudes, 3.714 admisiones (44%)

Mujeres: 4.321 solicitudes, 1.512 admisiones (35%)

Sin embargo, un análisis pormenorizado de los datos demostró que no había habido tal discriminación y la demanda fue desestimada. ¿Cómo es posible? ¿Se te ocurre algún posible desglose de los datos que dé lugar a esta conclusión? ¿Y cómo definirías el efecto Yule-Simpson a la vista del experimento de las bolas y de este caso real de falsa discriminación? (Pista: el efecto Yule-Simpson se conoce también como “paradoja de la amalgamación” y “paradoja de la reversión”).

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