Ilustres desconocidos

En las dos semanas anteriores hemos confeccionado una lista de números muy interesantes (no es plural mayestático: varias/os lectoras/es han participado activamente en su confección), que, de menor a mayor, son los siguientes:

0, 1, i, √2, Φ, 2, e, π, 5, 8, 9, 10, 113, 6174

(La situación de i en la lista es arbitraria, ya que es un número imaginario).

Obsérvese que están todos los dígitos excepto 3, 4 y 6, por lo que sería un agravio comparativo no incluirlos:

3

Es el primer primo impar y el primer primo de Fermat, y también es el primer primo de Mersenne; es un número de Lucas y de Fibonacci… ¿Se te ocurren otras características del número 3?

4

Es el primer número compuesto y el cuadrado del primer número primo. Es un número defectivo y sublime, así como un número de pastel y de Padovan.

6

Es el primer número perfecto (porque es igual a la suma de sus divisores: 6 = 1 + 2 + 3), y es el producto de los dos primeros números primos. Es un número práctico, oblongo…

Nuestros comentaristas habituales Bretos Bursó y Salva Fuster consideran, con razón, que la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 (de la que la semana pasada vimos la versión más habitual) puede expresarse de forma más breve, siempre que demos por sabido que todo número se factoriza como producto de primos de forma única: no puede ser a² = 2 b², porque el 2 aparece un número par de veces en la factorización de a² (el doble de las veces que aparezca en la de a) y un número impar de veces en la de 2 b² (el doble de las veces que aparezca en la de b, más 1). En general, por la misma razón resulta que la raíz cuadrada de cualquier número primo es irracional. Más aún, solo es racional la raíz cuadrada de un número natural si es un cuadrado perfecto.

Y además, Bursó y Fuster proponen otros números interesantes: 0,5 = 1/2, pues seguramente el concepto de mitad fue el punto de partida de los números racionales; la raíz cúbica de 2 (1,2599…), por su importancia en el desarrollo del álgebra; y la constante de Euler (o de Euler-Mascheroni), que se representa con la letra griega gamma y cuyo valor es 0,5772…

Gamma, omega, alef…

La constante de Euler es el límite de 1 + 1/2 + 1/3… + 1/n – log n cuando n tiende a infinito. Es un número mucho menos famoso que π, pero aún más misterioso: así como de π conocemos millones de decimales, de la constante de Euler solo se han podido calcular unos miles, y ni siquiera se sabe si es racional o irracional.

Y al hablar de gamma, la constante de Euler, es inevitable pensar en otros números muy importantes pero muy poco conocidos por el gran público, e incluso difíciles de entender para los no especialistas. Veamos, de momento, un par que figuran en las listas de favoritos de la mayoría de los matemáticos:

Constante de Chaitin

Se representa con la letra griega omega, y es un número irracional que representa la probabilidad de que un conjunto de instrucciones detenga una máquina universal de Turing. Se denomina así en honor del matemático estadounidense nacionalizado argentino Gregory J. Chaitin, que la formuló en los años sesenta del siglo pasado.

Álef 0

El primero de los números transfinitos de Cantor, que se corresponde con el infinito de los números naturales, que es un infinito de orden inferior al de los irracionales, que no son numerables (es decir, no pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los naturales), como demostró Georg Cantor en 1873. Pero ese es otro artículo.

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