La sucesión de Padovan

Los números 187 y 2019 pueden descomponerse en sumas de cuadrados y de cubos de distintas maneras, tal como se decía la semana pasada; he aquí algunas de las más breves, halladas por nuestros comentaristas habituales Oli y Theram:

187 = 13² + 3² + 3²;

2019 = 43² + 13² + 1²

187 = 5³ + 3³ + 3³ + 2³

2019 = 11³ + 7³ + 7³ + 1³ + 1³

La secuencia 16, 1, 2, 3, 5, 1, 1… es un ejemplo de esos fenómenos o acontecimientos que pasan inadvertidos por su misma “normalidad”, como esos ruidos de los que solo somos conscientes cuando cesan. En muchas casas sigue habiendo relojes de pared que dan los cuartos y las horas, y en casi todas las casas entra uno de esos relojes una vez al año para dar las campanadas de año nuevo. Al acabar un día y empezar otro, esos relojes dan 16 campanadas: las 4 de los cuartos más las 12 de la hora; un cuarto de hora después, 1 campanada anuncia el primer cuarto de la hora siguiente… Y el quinto término de la secuencia, 5, corresponde a los cuatro cuartos de la una más la campanada de la hora. Como pista, dije que la secuencia estaba inspirada en un acontecimiento muy reciente y muy “sonado” (las campanadas de año nuevo); pero… Surge una duda que planteo a modo de metaacertijo: ¿es aceptable esta secuencia como acertijo lógico-matemático, o es una de esas preguntas-trampa que cuando te dicen la respuesta exclamas indignado: “¡Eso no vale!”.

Hace unos años, un niño malévolo me volvió loco mostrándome la siguiente secuencia numérica: 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3… ¿Qué número sigue? Tardé varios días en dar con la solución, y por casualidad, y mi primera reacción fue exclamar mentalmente: “¡Maldito niño!”. Pero luego pensé que este tipo de secuencias atípicas, o ligeramente tramposas, nos invitan a ejercer el pensamiento lateral, así que bienvenidas sean. Una pista: esta secuencia tiene mucho que ver con la de las campanadas. Y una metapista: la pista anterior puede resultar engañosa.

Una sucesión familiar

Puesto que hablamos de secuencias numéricas y hace poco hablábamos de Ian Stewart, es inevitable mencionar la sucesión de Padavan:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7…

¿Qué número sigue? (Es fácil encontrar en la red la respuesta a esta y otras preguntas relativas e la sucesión de Padovan; pero no te prives del placer de encontrarlas sin ayuda).

La sucesión fue popularizada en 1996 por Ian Stewart en su sección de pasatiempos matemáticos de Scientific American, pero es obra del matemático y arquitecto británico Richard Padovan, de ahí su nombre.

Seguro que más de uno, aunque no conociera esta secuencia numérica, habrá pensado al verla: “Me resulta familiar”. ¿Con qué otra famosa sucesión está emparentada? Y para las/os lectoras/es más sagaces: ¿qué tiene que ver con la ecuación x³ – x – 1 = 0?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.