El problema de Waring

El área (S) de un polígono regular de lado l circunscrito a un círculo de radio r es S = nlr/2, siendo n el número de lados, puesto que podemos dividir el polígono en n triángulos de base l y altura r (el radio del círculo es la apotema del polígono circunscrito y por ende la altura de los triángulos); ahora bien, nl es el perímetro (p) del polígono, por lo que la fórmula se puede escribir así: S = pr/2.

Si vamos aumentando el número de lados del polígono circunscrito, su área se acercará cada vez más a la del círculo y su perímetro a la longitud de la circunferencia; en el límite p = 2πr, luego S = 2πr.r/2 = πr². De este modo hemos hallado el área del círculo a la manera de Arquímedes, tal como nos planteábamos la semana pasada.

Los números 187 y 2019 son primos entre sí; pero mis sagaces lectoras/es no les han encontrado ninguna otra característica notable, por lo que a continuación les plantearé otro pequeño desafío relativo a ellos.

Sumas de potencias

El pasado 23 de diciembre falleció el gran matemático estadounidense de origen belga Elias Stein, uno de los máximos impulsores, junto con su maestro Antoni Zygmund, del análisis armónico, una poderosa y versátil herramienta aplicable a distintos campos de la matemática y la física (como señala Antonio Córdoba en un interesante artículo publicado en estas mismas páginas); por ejemplo, a la teoría de números, y a problemas como el de Waring.

A finales del siglo XVIII, el matemático inglés Edward Waring conjeturó que, dado un exponente n entero y positivo, todo número natural puede expresarse como suma de un número limitado de potencias enésimas, y que el número máximo de sumandos necesarios está acotado y ligado al exponente en cuestión. Es más fácil verlo con algún ejemplo sencillo: en el caso concreto de los exponentes 2 y 3, todo número natural puede expresarse como suma de, como máximo, 4 cuadrados y 9 cubos. Así, 63 = 7² + 3² + 2² + 1² (descomposición no necesariamente única; ¿puedes hallar otra, tal vez una con menos sumandos?). Lagrange demostró que Waring tenía razón en el caso n = 2, y en 1909 Hilbert halló una demostración general, con lo que la conjetura dejó de serlo para convertirse en certeza.

Invito a mis sagaces lectoras/es a expresar los números 187 y 2019 como suma de 4 o menos cuadrados (y de 9 o menos cubos los que no se conformen con un aprobado). Y hablando de curiosas relaciones entre números, he aquí una secuencia inspirada en un acontecimiento muy reciente: 16 1 2 3 5 1… ¿Cuál es el número siguiente?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física,Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.