La otra bañera de Arquímedes

Cierta ambigüedad (mea culpa) en el enunciado de algún problema relativo al “andar del borracho” (recorridos aleatorios) ha dado lugar a un amplio e interesante debate (ver comentarios de las dos últimas semanas), así que, por una vez, se ha cumplido aquello de “no hay mal que por bien no venga”.

Sobre los andares del rey borracho en el centro del tablero de ajedrez, reproduzco las conclusiones, tras arduas discusiones, de nuestro comentarista habitual Oli Limón:

Salvo error o nuevas aportaciones, las probabilidades del rey quedan así:

Probabilidad que llegue al borde en 3 tiradas: 2/4³=1/32 =0.03125

Probabilidad que llegue al borde en 4 tiradas o menos: 1/32 +18/4⁴=13/128 =0.1015625

Probabilidad que llegue al borde en 5 tiradas o menos: 13/128+108/4⁵=57/512=0.20703125

Probabilidad regreso punto de partida en 4 tiradas o menos: 1/4+36/44=25/64=0.390625

En cuanto al paseo interminable del rey borracho por un tablero ilimitado, reproduzco el comentario de otro “usuario destacado”, Manuel Amorós:

Según Martin Gardner, la probabilidad en un paseo infinito a lo largo del retículo, de visitar cualquier punto del mismo es 1. Dicho de otro modo, tarde o temprano, si el paseo se prolonga indefinidamente, volveremos al origen. Las cosas cambian radicalmente en una retícula tridimensional, cito a Gardner: "En 1940, McCrea y Whipple demostraron que la probabilidad de que el andarín retorne al origen de su caminata es de solo 0,35 (aproximadamente), aunque el paseo se prolongue indefinidamente".

Si no recuerdo mal, Ian Stewart llegó a la misma conclusión. La demostración excede los límites de esta sección, pero ahí queda el dato para quienes deseen profundizar en esta interesante y escurridiza cuestión.

El rey desconfiado

Y de un rey borracho a otro desconfiado.

Es bien conocida la historia de la bañera de Arquímedes (de la que nos hemos ocupado alguna vez en esta misma página), que le dio la idea para calcular el volumen de la corona del desconfiado rey de Siracusa, Hierón II.

Menos conocida y fiable es la leyenda de otra bañera, muy grande y lujosa, que le permitió a Arquímedes lucirse por segunda vez ante el desconfiado rey. Hierón había ordenado que le fabricaran una bañera de bronce capaz de contener mil litros de agua (dicho en unidades actuales, obviamente), pero tenía la sensación de que era más pequeña de lo acordado, así que le pidió a Arquímedes que calculara su capacidad.

-¿Para eso me mandas llamar? -se quejó el sabio-. Di que la llenen usando una vasija de diez litros y que cuenten si hay que usarla cien veces.

-Es que la bañera ya está llena de agua caliente y no quiero desaprovecharla -replicó Hierón.

-Pues báñate y que luego la vacíen usando la vasija de diez litros.

-Es que no quiero utilizar una bañera engañosa, que no sería digna de mi real persona.

¿Cómo consiguió Arquímedes calcular la capacidad de la bañera sin vaciarla?

Y puesto que esta entrega aparece el 28 de diciembre, he incluido en ella, a modo de metaacertijo, una pequeña broma que mis sagaces lectoras/es tendrán que descubrir. (Una pequeña pista: la pequeña broma es un pequeño homenaje al gran Raymond Smullyan).

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física,Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.