El rey borracho

Nuestro rey borracho de la semana pasada solo puede llegar al borde del tablero en tres jugadas si salen tres caras (si es el rey blanco, o tres cruces si es Baltasar), luego la probabilidad es 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8.

La probabilidad de que el rey vuelva al punto de partida en tres jugadas es 0, ya que para ello se necesita un número par de jugadas, puesto que tiene que desandar cada paso que se aleja de su casilla inicial.

A medida que aumenta el número de tiradas, aumenta la probabilidad de que salgan un 50 % de caras y un 50 % de cruces, por lo que la probabilidad de que el rey vuelva a su casilla de partida tiende a 1.

Curiosamente, la pregunta final, que parecía la más sencilla, es la que ha suscitado mayor debate entre los lectores (ver comentarios de la semana pasada). Hay tres posibilidades: gana Ana, gana Berta o empatan, y esto explica que algunos dieran soluciones próximas al 33 %; pero las tres posibilidades no son equiprobables. Como es fácil ver mediante un cuadro de posibilidades, los equiprobables son el empate y el no-empate, lo que significa que la probabilidad de que gane Ana (o de que gane Berta) es del 25 %. Este es uno de esos acertijos que son más interesantes desde el punto de vista de la psicología cognitiva que como problemas matemáticos. 

El rey bidimensional

Como el hombre unidimensional de Marcuse, nuestro rey borracho solo podía moverse a lo largo de una línea (la primera fila del tablero de ajedrez). Situémoslo ahora en el centro del tablero y permitámosle desplazarse no solo a derecha e izquierda sino también adelante y atrás (pero no en diagonal). Si todos sus pasos son aleatorios y todas las posibilidades equiprobables, ¿cuál es la probabilidad de que el rey llegue al borde del tablero en tres jugadas? ¿Y en cuatro jugadas o menos? ¿Y en cinco jugadas o menos? ¿Y la probabilidad de que vuelva a la casilla de partida en cuatro jugadas o menos? ¿Y la probabilidad de que, en un tablero ilimitado, vuelva al punto de partida al cabo de infinitas jugadas?

Como es más fácil disponer de una moneda que de un dado tetraédrico, podemos determinar las jugadas aleatorias lanzando una moneda dos veces seguidas: si salen dos caras, el rey se desplaza una casilla a la derecha; si salen dos cruces, se desplaza una casilla a la izquierda; si sale cara y luego cruz, se desplaza una casilla hacia delante; y si sale cruz y luego cara, se desplaza una casilla hacia atrás.

Obviamente, la situación se puede ampliar a tres (o más) dimensiones. Si el rey borracho no estuviera en una cuadrícula sino en una “cubícula” (red tridimensional de celdillas cúbicas) y pudiera desplazarse también hacia arriba y hacia abajo, ¿cuál sería su probabilidad de volver al punto de partida al cabo de infinitas jugadas?