El andar del borracho

En la afirmación “En ezta frase ay quatro errores”, mencionada la semana pasada, hay tres errores gramaticales; pero también hay un error de concepto, puesto que los errores solo son tres, por lo que hay cuatro errores, y Ian Stewart considera que una frase de este tipo es una falsa falacia (lo que él llama ycallaf); pero es verdadera en la medida en que es falsa, por lo que más bien es una falacia paradójica -o una paradoja sin más- directamente emparentada con la paradoja del mentiroso.

Al comprobar que dos relojes de péndulo colgados de la misma pared sincronizaban sus oscilaciones, pero perdían la sincronización al colgarlos en paredes opuestas, Huygens llegó a la conclusión de que el fenómeno se debía a algún movimiento imperceptible de la pared. Y así era: ese movimiento imperceptible era la leve vibración transmitida a la pared por la oscilación de los péndulos.

Como vimos, el matemático y divulgador Ian Stewart ha estudiado el fenómeno de la sincronización de osciladores y su relevancia en el campo de la biología. Por ejemplo, las células del miocardio se sincronizan para optimizar la función bombeadora del músculo cardíaco, y en una manada de elefantes los individuos acompasan sus andares debido a la vibración del suelo al ser percutido por sus poderosas pezuñas. ¿Tiene algo que ver todo esto con la resonancia, de la que nos ocupábamos hace unas semanas?

El rey borracho

En el extremo opuesto de la ambulación sincronizada de los elefantes, los andares erráticos de un borracho, cuyos pasos son impredecibles; aunque no por ello escapan al análisis matemático. De hecho, el andar del borracho es una metáfora recurrente para aludir a cierto tipo de fenómenos aleatorios. Veamos un ejemplo simple, un “borracho binario” que solo puede dar pasos hacia delante y hacia atrás y lo hace de forma aleatoria. Es fácil modelizar a este borracho imaginario mediante, por ejemplo, un rey de ajedrez situado en su casilla de salida sobre el tablero vacío y una moneda que lanzamos al aire; si sale cara, el rey se desplaza una casilla a la derecha; si sale cruz, se desplaza una casilla a la izquierda. ¿Cuál es la probabilidad de que, al cabo de tres tiradas, el rey borracho haya llegado al borde del tablero? ¿Y la probabilidad de que haya vuelto al punto de partida? Y si en la fila, en vez de solo ocho casillas, hubiera un número ilimitado en ambas direcciones y lanzáramos la moneda una infinidad de veces, ¿dónde acabaría el rey?

Para terminar, una sencilla variación sobre el mismo tema: Ana y Berta juegan a cara o cruz. Si sale cara, Ana se anota un punto, y si sale cruz se lo anota Berta. Gana la que le saque tres puntos de ventaja a la otra, y si al cabo de diez lanzamientos ninguna de las dos lo ha conseguido, se considera empate. ¿Cuál es la probabilidad de que gane Ana?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal