Más números muy interesantes

A la lista de números muy interesantes de la semana pasada, podríamos añadir algunos más sugeridos por nuestras/os sagaces lectoras/es. En orden creciente, son: 1,618… (la razón áurea), 5, 8, 9, 10, 113 y 6174.

Pero antes de dedicarles a estos candidatos a figurar en el elenco de los números más interesantes la atención que merecen, veamos la ingeniosa demostración que llevó a los pitagóricos a concluir que √2 no podía ser un número racional, es decir, expresable mediante una fracción:

Supongamos que esa fracción existe y que, por tanto, √2 = a/b, donde a y b no son ambos pares (pues si fueran ambos pares podríamos simplificar la fracción dividiendo por 2 el numerador y el denominador una o varias veces).

Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

2 = a²/b², de donde:

2b² = a², por lo que a² es par, y por tanto a también (puesto que el cuadrado de un número impar siempre es impar), luego

a = 2n, siendo n un número entero, luego

a² = 4n², por lo que

b² = 2n², por lo que b² es par y b también, en contra de la premisa de partida, según la cual a y b no son ambos pares. Por tanto, la supuesta fracción igual a √2 es imposible.

Y vamos con los nuevos candidatos a números muy interesantes:

Φ

El número áureo, Φ = 1,618…, además de su importancia estética, está relacionado con la sucesión de Fibonacci (relación de la que nos hemos ocupado en alguna ocasión) y posee interesantes propiedades aritméticas y geométricas. Es uno de los pocos números irracionales que, como π y e, tiene nombre propio; pero no es trascendente, como estos dos, sino algebraico. ¿Puedes hallar la ecuación de segundo grado de la que es solución?

5

Hay 5 sólidos platónicos (poliedros regulares). Es un primo pitagórico: 52 = 22 + 12, así como la hipotenusa del “triángulo de oro”, de catetos 3, 4 y 5. Es el número de dedos de una mano humana, razón por lo que utilizamos un sistema de numeración de base 10. ¿Se te ocurren otras características notables del número 5?

8

Además de convertirse, al tumbarlo, en el símbolo del infinito, es el menor cubo perfecto (sin contar el caso trivial del 1), y, hablando de cubos, el número de vértices del hexaedro. También es un número de pastel, práctico, refactorizable…

Además de ser muy interesantes por separado, el 5 y el 8 también lo son como pareja, pues 8/5 = 1,6 es una buena aproximación a Φ, el número áureo.

9

A Mariana Días el 9 le parece muy geométrico (¿por qué?). Además, el 9 es un autonúmero, es un número refactorizable, un número de Motzkin, de Kaprekar, de Padovan, es un factorial exponencial…

10

Es la base de nuestro sistema de numeración, lo que bastaría para incluirlo en cualquier lista de números muy interesantes. Además, es un número de Harshad, de Perrin, de Stormer… Y es un número feliz.

113

Nuestro comentarista habitual Rafael Granero propone el 113 por ser el menor primo Wednesday number de tres cifras. Un Wednesday number es un número primo donde dos dígitos consecutivos cualesquiera forman un primo, y todos esos primos formados son distintos (por ejemplo, 13171, pues 13 31, 17y 71 son todos primos).

La pregunta -dice Granero- es ¿cuál es el mayor primo Wednesday number que existe?

6174

A Fernando Garro le encanta el 6174, conocido como “constante de Kaprekar”, un número “mágico” que, tras una serie de operaciones repetitivas a partir de un número de cuatro dígitos cualquiera, siempre acaba apareciendo. Pero ese es otro artículo.

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