Series y sucesiones
Una suma de elementos cada vez menores puede tener un límite o crecer sin fin, y a menudo la intuición nos engaña
Una pirámide escalonada cuyos basamentos, de arriba abajo y de acuerdo con la fórmula (2n-1)/n2, tuvieran respectivamente unas alturas decrecientes iguales a 1, 3/4, 5/9, 7/16, 9/25…, a primera vista no parece que pudiera ser muy alta, dada la rapidez con que menguan los escalones: 1, 0.75, 0.55, 0.43, 0.36… Diríase que pronto se llegará a basamentos de escasos milímetros de altura, y de hecho así es. Y sin embargo, no hay límite para la altura teórica de nuestra pirámide: si la construyéramos sobre un plano infinito y en ausencia de gravedad, podría ser tan alta como quisiéramos.
Si comparamos la serie 1 + 3/4 + 5/9 + 7/16 + 9/25… con la conocida serie armónica: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5…, vemos que la primera es, miembro a miembro, mayor que la segunda, y puesto que la serie armónica es divergente (es decir, crece indefinidamente al aumentar el número de sumandos), la primera también lo es.
Por cierto, se puede demostrar de forma sencilla e ingeniosa, sin grandes conocimientos matemáticos, que la serie armónica es divergente. ¿Cómo?
Las series que no crecen indefinidamente, sino que a medida que sumamos más términos se aproximan cada vez más a un determinado valor finito, que es el límite de la serie, se denominan convergentes. Por ejemplo, 1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32… ¿Cuál es su límite? ¿Y cuál es la relación de esta serie con la conocida paradoja de Aquiles y la tortuga?
La sucesión de Fibonacci
Los términos “serie” y “sucesión” se utilizan a menudo como sinónimos, pero en matemáticas tienen significados distintos. Una sucesión es un conjunto de números ordenados de acuerdo con algún criterio, mientras que una serie, como acabamos de ver, es el sumatorio de una sucesión (representado por la letra griega ∑), o sea, la suma de sus términos.
La sucesión más famosa es la de Fibonacci (a menudo llamada erróneamente “serie de Fibonacci”), en la que cada término es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
La sucesión de Fibonacci, que aparece a menudo en la naturaleza, está directamente relacionada con la divina proporción (¿de qué manera?) y tiene curiosas propiedades. Por ejemplo, la suma de diez números de Fibonacci consecutivos cualesquiera siempre es igual al séptimo de esos diez números multiplicado por 11. ¿Por qué?
Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.
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