_
_
_
_

Series y sucesiones

Una suma de elementos cada vez menores puede tener un límite o crecer sin fin, y a menudo la intuición nos engaña

Carlo Frabetti

Una pirámide escalonada cuyos basamentos, de arriba abajo y de acuerdo con la fórmula (2n-1)/n2, tuvieran respectivamente unas alturas decrecientes iguales a 1, 3/4, 5/9, 7/16, 9/25…, a primera vista no parece que pudiera ser muy alta, dada la rapidez con que menguan los escalones: 1, 0.75, 0.55, 0.43, 0.36… Diríase que pronto se llegará a basamentos de escasos milímetros de altura, y de hecho así es. Y sin embargo, no hay límite para la altura teórica de nuestra pirámide: si la construyéramos sobre un plano infinito y en ausencia de gravedad, podría ser tan alta como quisiéramos.

Si comparamos la serie 1 + 3/4 + 5/9 + 7/16 + 9/25… con la conocida serie armónica: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5…, vemos que la primera es, miembro a miembro, mayor que la segunda, y puesto que la serie armónica es divergente (es decir, crece indefinidamente al aumentar el número de sumandos), la primera también lo es.

Por cierto, se puede demostrar de forma sencilla e ingeniosa, sin grandes conocimientos matemáticos, que la serie armónica es divergente. ¿Cómo?

Las series que no crecen indefinidamente, sino que a medida que sumamos más términos se aproximan cada vez más a un determinado valor finito, que es el límite de la serie, se denominan convergentes. Por ejemplo, 1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + 1/32… ¿Cuál es su límite? ¿Y cuál es la relación de esta serie con la conocida paradoja de Aquiles y la tortuga?

La sucesión de Fibonacci

Los términos “serie” y “sucesión” se utilizan a menudo como sinónimos, pero en matemáticas tienen significados distintos. Una sucesión es un conjunto de números ordenados de acuerdo con algún criterio, mientras que una serie, como acabamos de ver, es el sumatorio de una sucesión (representado por la letra griega ∑), o sea, la suma de sus términos.

La sucesión más famosa es la de Fibonacci (a menudo llamada erróneamente “serie de Fibonacci”), en la que cada término es la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

La sucesión de Fibonacci, que aparece a menudo en la naturaleza, está directamente relacionada con la divina proporción (¿de qué manera?) y tiene curiosas propiedades. Por ejemplo, la suma de diez números de Fibonacci consecutivos cualesquiera siempre es igual al séptimo de esos diez números multiplicado por 11. ¿Por qué?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

Tu suscripción se está usando en otro dispositivo

¿Quieres añadir otro usuario a tu suscripción?

Si continúas leyendo en este dispositivo, no se podrá leer en el otro.

¿Por qué estás viendo esto?

Flecha

Tu suscripción se está usando en otro dispositivo y solo puedes acceder a EL PAÍS desde un dispositivo a la vez.

Si quieres compartir tu cuenta, cambia tu suscripción a la modalidad Premium, así podrás añadir otro usuario. Cada uno accederá con su propia cuenta de email, lo que os permitirá personalizar vuestra experiencia en EL PAÍS.

En el caso de no saber quién está usando tu cuenta, te recomendamos cambiar tu contraseña aquí.

Si decides continuar compartiendo tu cuenta, este mensaje se mostrará en tu dispositivo y en el de la otra persona que está usando tu cuenta de forma indefinida, afectando a tu experiencia de lectura. Puedes consultar aquí los términos y condiciones de la suscripción digital.

Sobre la firma

Carlo Frabetti
Es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

Más información

Archivado En

Recomendaciones EL PAÍS
Recomendaciones EL PAÍS
Recomendaciones EL PAÍS
_
_