¿La dama o el tigre?

Al intentar demostrar que los números irracionales son numerables, George Cantor encontró la demostración de que no lo son. Salvando las (enormes) distancias, al intentar construir el hipotético “tetraedro egipcio” de la semana pasada, encontré una sencilla y muy visual/evidente demostración de su imposibilidad. En efecto, la forma más simple de construir (mentalmente) dicho tetraedro sería partir de un rectángulo de 3x4 y doblarlo por una diagonal hasta que los vértices opuestos estuvieran a una distancia de 5 unidades. Pero la cuestión es que ya están a esa distancia (pues la diagonal mide precisamente 5 unidades), que disminuirá al doblar el rectángulo, lo que (de)muestra que el supuesto tetraedro egipcio es una figura plana, y que las caras de un tetraedro equiédrico solo pueden ser triángulos acutángulos. El imposible tetraedro egipcio es el límite del progresivo achatamiento del tetraedro equiédrico a medida que uno de los ángulos de sus caras tiende a 90º.

El que sí existe es el tetraedro trirrectángular o tetraedro trirrectángulo, que es aquel en el que los tres ángulos de las caras que convergen en un vértice son rectos. Las tres aristas que convergen en ese vértice son, pues, los catetos de dichas caras, que obviamente son triángulos rectángulos, y las tres hipotenusas son los lados de la cara mayor del tetraedro trirrectángulo, que se llama base (independientemente de la posición del tetraedro). ¿Puedes hallar la altura perpendicular a la base del tetraedro trirrectángulo en función de sus tres catetos? ¿Y el volumen? ¿Y el área de la base?

Y como colofón, un elegante problema propuesto por Salva Fuster: dado un tetraedro equiedro cuyas caras son triángulos isósceles, encontrar el volumen mínimo de la esfera que lo contiene, sabiendo que el volumen del tetraedro es un número entero.

Decisiones problemáticas

En entregas recientes hemos visto algunos problemas y paradojas relacionados con la teoría de la decisión (ver La paradoja de Elsberg y La paradoja de Simpson), por lo que no está de más recordar el famoso relato de Frank R. Stockton ¿La dama o el tigre?, publicado en 1882 y desde entonces citado a menudo al hablar de la toma de decisiones y del libre albedrío. Muy resumida, la historia es la siguiente:

El protagonista tiene que elegir entre dos puertas: tras una de ellas hay un tigre hambriento y tras la otra una hermosa joven con la que tendrá que casarse. La amante del protagonista sabe tras qué puerta está el tigre. No quiere ver a su amado devorado por la fiera, pero tampoco soporta la idea de verlo casado con su bella rival, y él lo sabe. Ella le indica con una seña qué puerta debe abrir. ¿Qué hace él?

Inspirándose en este inquietante relato, Raymond Smullyan, el gran maestro contemporáneo de los acertijos lógicos, publicó cien años después -en 1982- un delicioso libro con el mismo título, en el que tienes que superar un montón de pruebas tan peligrosas como las siguientes:

Hay dos puertas. En la I hay un letrero que dice: “Al menos tras una de estas dos puertas hay una dama”. En la II hay un letrero que dice: “Hay un tigre tras la otra puerta”. Sabiendo que o bien los dos letreros dicen la verdad o bien los dos mienten, ¿qué puerta elegirías?

Hay tres puertas. El letrero de la I dice: “Tras esta puerta hay un tigre”. El de la II dice: “Tras esta puerta hay una dama”. El de la III dice: “Tras la puerta II hay un tigre”. Sabiendo que a lo sumo uno de los tres letreros dice la verdad, ¿qué puerta elegirías?

En ambos casos se supone que prefieres la dama al tigre.

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