La paradoja de Cantor

El propio padre de la teoría de conjuntos se dio cuenta de las paradojas derivadas de una concepción ingenua

El matemático alemán Georg Cantor.
El matemático alemán Georg Cantor.Getty Images

Una manera de “resolver” la famosa paradoja del barbero, mencionada la semana pasada, es decir, sencillamente, que tal barbero no puede existir porque se le suponen actuaciones contradictorias, del mismo modo que no puede existir un barbero que sea a la vez alto y bajo. Pero, como decía Hegel, una paradoja es una verdad cabeza abajo, que nos obliga a revisar conceptos y planteamientos que creíamos claros y no lo son tanto. En el caso de la teoría de conjuntos, lo que puso en evidencia Russell con sus paradojas fue que el concepto intuitivo de conjunto como mera “colección de cosas” es poco riguroso desde el punto de vista matemático.

Mi versión favorita de este tipo de paradojas es la del catálogo imposible. Llamemos autorreferentes (AR) a los libros que se mencionan a sí mismos; por ejemplo, en el Quijote se habla del Quijote, y muchos libros llevan un prólogo o un texto de contracubierta en el que se habla del propio libro. Y llamemos no autorreferentes (NAR) a los libros en los que no aparece ninguna mención al propio libro. Y ahora hagamos el catálogo de los libros NAR. Si dicho catálogo figura en la lista de los NAR, se menciona a sí mismo, luego es AR, luego no debería estar en el catálogo de los NAR; y si no figura en la lista de los NAR, no se menciona a sí mismo, luego debería estar en la lista de los NAR. ¿Qué pueden decir al respecto mis sagaces lectoras/es?

Conjuntos ingenuos

Pero fue el propio padre de la teoría de conjuntos, Georg Cantor, el primero en señalar, a finales del siglo XIX, que una concepción “ingenua” de dicha teoría llevaba a contradicciones insoslayables, como evidencia la paradoja que lleva su nombre.

Cantor demostró que los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales, lo que significa que la infinitud de los irracionales es de orden superior a la de los naturales. Esta idea de un infinito “más infinito” que otro causó un profundo rechazo entre algunos matemáticos de la época, rechazo que en el caso de Leopold Kronecker se convertiría en auténtico odio (llegó a acusar a Cantor de corromper a la juventud con sus ideas matemáticas).

Pero los infinitos de orden superior, que Cantor denominó “transfinitos”, supusieron una importantísima contribución al desarrollo de las matemáticas que todos acabaron aceptando. Y no solo los números irracionales son “innumerables”; por ejemplo, el conjunto de los subconjuntos finitos del conjunto de los números naturales es numerable (¿puedes demostrarlo?); pero el conjunto de todos sus subconjuntos, finitos e infinitos, denominado “conjunto potencia”, no lo es.

Esta idea se generaliza en el teorema de Cantor, que demuestra que el conjunto potencia de cualquier conjunto infinito es un infinito de orden superior al del conjunto de partida.

El conjunto de todos los conjuntos está incluido en sí mismo (puesto que es un conjunto), luego su infinitud, según el teorema de Cantor, es mayor que la suya propia, lo cual es absurdo

Y esta es la paradoja: el conjunto de todos los conjuntos está incluido en sí mismo (puesto que es un conjunto), luego su infinitud, según el teorema de Cantor, es mayor que la suya propia, lo cual es absurdo. Sin pretender quitarle mérito a Russell, justo es decir que se limitó a versionar y difundir la paradoja de Cantor.

Y hablando de conjuntos dentro de otros conjuntos, me he acordado de un bonito problemilla que propongo a mis sagaces lectoras/es:

Tenemos dos cubos, uno de 5 litros y otro de 3, y acceso a un grifo. ¿Cómo podemos tener 4 litros de agua sin derramar nada ni disponer de un recipiente auxiliar?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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