La terrible dinastía de los números transfinitos

Como vimos la semana pasada, la diagonal del cuadrado llevó a los pitagóricos al perturbador descubrimiento de los números irracionales. La demostración de que √2 no puede expresarse mediante una fracción es tan ingeniosa como sencilla por el método de reducción al absurdo, es decir, viendo que el supuesto contrario lleva a una contradicción:

Supongamos que la raíz cuadrada de 2 se puede expresar mediante una fracción, o sea, que √2 = a/b, donde a y b son números enteros y no son los dos pares (pues entonces podríamos simplificar la fracción dividiéndolos ambos por 2). Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tenemos que 2 = a²/b², de donde a² = 2b², luego a² es par y, por ende, también a, luego podemos expresar a de la forma a = 2n, donde n es un número entero, y por lo tanto a² = (2n)² = 4n² = 2b², por lo que b también es par, lo que contradice la premisa inicial.

Es fácil construir un número trascendente mediante pautas no repetitivas; por ejemplo: 0,123456789101112131415…, o 0,235711131719… En el primer caso escribimos los números naturales uno a continuación de otro, y en el segundo hacemos lo mismo con los primos.

El infinito y más allá

Dos mil quinientos años después de la conmoción causada por la diagonal del cuadrado y su “monstruosa” irracionalidad, otra diagonal conmocionó el mundo matemático con no menos violencia: la diagonal de Cantor. Y una vez más fue el método de reducción al absurdo o contradicción de la premisa lo que lo llevó a su desconcertante conclusión. Cantor imaginó que la lista completa de los irracionales ya estaba confeccionada y se dio cuenta de que podía formar un nuevo irracional tomando el primer dígito del primer número y añadiéndole 1 y haciendo lo mismo con el segundo dígito del segundo número, con el tercero del tercer número y así sucesiva e indefinidamente; de este modo, tendría un número diferente de todos y cada uno de los de la lista en al menos un dígito, y que, por tanto, no estaría en ella, en contra de la premisa de una lista completa. Esto equivale a decir que los números irracionales no son numerables, y por tanto son “más infinitos” que los naturales.

Y eso solo era el principio. El “superinfinito” de los irracionales no es sino el primer nivel de una infinita jerarquía -una “terrible dinastía”, como la denominó Borges- de infinitos de nivel cada vez mayor, a los que Cantor denominó transfinitos y designó con la letra hebrea álef (de ahí el título del famoso relato de Borges).

Y hablando de infinitos, ya hemos visto que el número de libros escribibles con nuestro alfabeto es inmenso, pero finito. Pero ¿y si inventamos otros alfabetos? ¿Es infinito el número de libros escribibles con todos los alfabetos imaginables?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.