Los monstruosos números irracionales

El mayor número que podemos escribir con tres doses es 2²², un número superior a cuatro millones. También nos preguntábamos la semana pasada qué es mayor, la raíz cuadrada de 2 o la raíz quinta de 5. Si elevamos ambos números a la potencia 10, obtenemos 2⁵ = 32 y 5² = 25, lo que demuestra que √2 es mayor. Conviene aclarar, como han señalado algunos lectores, que solo se tienen en cuenta las soluciones positivas, pues la raíz cuadrada de 2 no solo es 1,4142…, sino también –1,4142…

La raíz cuadrada de 2 es la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1; aparece continuamente en las operaciones algebraicas y geométricas, y además tiene una gran relevancia histórica, pues fue la ventana por la que los pitagóricos, hace dos milenios y medio, se asomaron al inquietante mundo de los números irracionales, cuyo descubrimiento provocó una auténtica conmoción.

Los números irracionales se denominan así porque no pueden expresarse como razón de dos números enteros, algo que los primeros matemáticos de la antigua Grecia no habían contemplado y que algunos consideraron “monstruoso”. Invito a mis sagaces lectoras/es a demostrar que √2 no puede expresarse como fracción, es decir, como cociente de dos números enteros.

Obviamente, un número irracional tiene infinitos decimales, pues de lo contrario podríamos quitarle la coma y expresarlo como un número entero partido por un 1 seguido de tantos ceros como decimales tuviera el número en cuestión. Además, esos infinitos decimales no han de ser periódicos (es decir, no ha de haber un bloque que se repite indefinidamente). Por ejemplo, 0,333… no es irracional, puesto que es igual a 1/3; y 0,237237237… tampoco, pues es igual a 237/999.

Algebraicos y trascendentes

Hay dos clases de números irracionales: algebraicos y trascendentes. Los primeros son solución de alguna ecuación algebraica y pueden expresarse mediante un número finito de raíces; √2 es un ejemplo sencillo de número irracional algebraico, pues es la solución de la ecuación x² = 2 y se expresa con una única raíz cuadrada. También el famoso número áureo, Φ, pues es una solución de la ecuación x² – x – 1 = 0.

Pero hay otros irracionales, como π y e, que no son soluciones de ninguna ecuación algebraica ni pueden expresarse mediante un número finito de raíces; se denominan números trascendentes porque en general proceden de funciones trascendentes, como las trigonométricas y las logarítmicas. Aunque también podemos construir un número trascendente sin partir de función alguna, creando una secuencia de decimales que no formen un patrón repetitivo (período). Animo a mis sagaces lectoras/es a crear su propio número trascendente.

Los números irracionales no solo supusieron un terremoto conceptual para los pitagóricos: en el siglo XIX, Georg Cantor demostró que no son numerables, es decir, no pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales, lo que equivale a decir que la infinitud de los irracionales es de orden superior. Cantor llamó “transfinitos” a los conjuntos “más infinitos” que el de los números naturales y provocó una auténtica conmoción en el mundo matemático. Pero ese es otro artículo (el próximo, concretamente).

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física,Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.