Cantor, el Aleph y los distintos infinitos

Este blog, El Aleph, ha cumplido un año por estas fechas. Son ya 52 artículos los que se han publicado en él (éste es el número 53), y por ello creo que es el mejor momento para hablar sobre la relación que tienen las matemáticas con el título del mismo. Sirvan para ello los siguientes párrafos.

El infinito es un concepto complicado de manejar y de entender (de hecho, dudo que haya alguien que sea capaz de comprenderlo en toda su extensión). Por ello, los acercamientos al concepto de infinito de siempre fueron poco profundos, tomando muchas licencias y, en ocasiones, llenos de errores e incorrecciones. Pero desde siempre fue el infinito, uno solo.

Corría el año 1891 cuando Georg Cantor, matemático alemán, hacía saltar la banca en lo que al tema del infinito se refiere: no había un único infinito, sino muchos, todos ellos distintos, lo cual fue un auténtico boom en la época (hasta el punto de no ser aceptado por muchos matemáticos hasta tiempo después).

Pero vayamos por partes. La cuestión clave de este asunto, demostrada por Cantor, es que los números naturales y los números reales tienen distintas cantidades infinitas de elementos. Como esto puede ser un poco complejo de entender, voy a intentar explicarlo de la manera más clara posible. Pero antes vamos a dar nombre a algunas cosas.

Suele denominarse cardinal de un conjunto a la cantidad de elementos que tiene dicho conjunto. Es evidente que tanto el conjunto de los naturales como el conjunto de los reales tienen cardinal infinito, pero lo que advirtió (y demostró) Cantor es que esos infinitos son esencialmente distintos.

La idea de Cantor para demostrar este hecho se suele llamar actualmente método diagonal de Cantor. Lo que hizo fue suponer que ambos cardinales eran iguales, lo que significa que a cada elemento de uno de los conjuntos podemos asignarle un elemento del otro conjunto, y viceversa, de manera que no sobra ningún elemento en ninguno de los conjuntos (lo que se llama correspondencia biunívoca).

Habitualmente se hace esto entre el conjunto de los números naturales, {1, 2, 3,…}, y los números contenidos entre el 0 y el 1 (aprovechando que el intervalo (0,1) y el conjunto de los números reales sí que tienen el mismo cardinal). Lo que haríamos sería listar todos los elementos de este intervalo, cuestión que haremos expresando sus elementos como números decimales, y asignar a cada número natural uno de esos números decimales. Una posible asignación podría comenzar así:

Si ambos conjuntos tuvieran el mismo cardinal, no habría más elementos en el intervalo (0,1) aparte de los que aparecen en esta asignación (recordad que hemos listado todos los elementos de dicho intervalo). Bien, pues vamos a construir un número que está entre el 0 y el 1 pero no está en la lista anterior.

Los decimales de este número serán de la siguiente forma: el primero, distinto al primer decimal del primer número de la lista; el segundo, distinto del segundo decimal del segundo número de la lista; el tercero, distinto del tercer decimal del tercer número de la lista; y así sucesivamente. Por ejemplo, podemos tomar en cada caso el número siguiente a cada decimal (si es un 3 tomamos un 4, si es un 8 tomamos un 9, y si es un 9 tomamos un 0). En nuestro caso, nos quedaría lo siguiente:

Partíamos de una lista que suponíamos completa y hemos construido un número que está entre 0 y 1, a=0’49394340…, que no pertenece a dicha lista (difiere con todos los de nuestra lista en, al menos, un decimal). Esto es una contradicción, que parte de suponer que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal (recordad el método de reducción al absurdo). Por tanto, los números naturales y los números reales tienen cardinales distintos, lo que nos lleva a que hay distintos tipos de infinito.

Los más puristas advertirán en la demostración anterior algunos pequeños “problemas”, algunos detalles que sería conveniente rellenar y algunas pequeñas cuestiones con las que habría que afinar algo más de lo que lo he hecho yo. Esos detalles son fácilmente subsanables y hacerlo en este artículo resultaría demasiado engorroso teniendo en cuenta el propósito del mismo. Por ello, he preferido no incluirlos, pero os animo a que, si queréis, habléis sobre ellos en los comentarios.

¿Qué tiene que ver El Aleph en todo esto? Pues muy sencillo. El cardinal del conjunto de los números naturales se denominó aleph cero, y se representa mediante la letra hebrea aleph y un subíndice 0 para representar que el cardinal infinito más pequeño.

Mediante razonamientos parecidos, se puede construir una sucesión de cardinales infinitos, cada vez mayores y estrictamente mayores que cada uno de los anteriores, que se nombran como aleph uno, aleph dos, etc.:

¿Cuál es el cardinal del conjunto de los números reales? Pues, por el tema de que los reales rellenan la recta de manera continua, se le llamó c (de continuo). Como podéis ver, este cardinal infinito no aparece en la lista anterior…o sí, y me explico.

Por un lado, aleph uno es define como el menor cardinal infinito que es mayor que aleph cero, y por otro lado c (el cardinal de los números reales) es también mayor que aleph cero. Además, se sabe que el cardinal de los reales, c, es igual a 2 elevado a aleph cero. La pregunta que surge es la siguiente: ¿son iguales? Bien, pues eso es lo que afirma la denominada hipótesis del continuo:

Cantor pensaba que era cierto que ambos cardinales son iguales, pero no fue capaz de demostrarlo. Más adelante, trabajos de Kurt Gödel y Paul Cohen concluyeron que la hipótesis del continuo es indecidible dentro de nuestra teoría de conjuntos, lo que significa que dentro de nuestra teoría de conjuntos (Zermelo-Fraenkel junto al axioma de elección) no se puede ni demostrar ni refutar esta hipótesis. Por tanto, podemos construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo es cierta y otra, también consistente, donde dicha hipótesis es falsa. Casi nada.

Estos y otros trabajos de Cantor supusieron, como ya hemos comentado, una revolución en las matemáticas de la época (de hecho, se considera a Georg Cantor como el creador de la moderna teoría de conjuntos). Fue complicado que los matemáticos de aquel momento aceptaran como ciertos los trabajos de Cantor, pero al final la matemática tuvo que rendirse a las evidencias.

De Cantor y su trabajo habría más cosas que contar, pero eso lo dejaremos para próximos artículos.