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Números grandes y grandes números

El matemático suizo Jakob Bernoulli relaciona la precisión de una estadística con el número de pruebas

Jean and Jacques Bernoulli resolviendo probremas geométricos.
Jean and Jacques Bernoulli resolviendo probremas geométricos. Getty Images

Dando por supuesto que en un par de milenios el ciclo del agua habrá removido globalmente y remezclado de forma homogénea los mil trillones y pico de litros que participan en él, no es difícil calcular, como nos planteábamos la semana pasada, cuántas moléculas de las lágrimas que derramó María por su hijo muerto habrá en un vaso de agua. Incluso podemos hacerlo mentalmente:

Un centímetro cúbico equivale a unas veinte gotas de agua (¿y qué otra cosa son las lágrimas?), por lo que un millar de lágrimas son unos cincuenta centímetros cúbicos, o sea, unos tres moles de agua (recordemos que un mol de una sustancia es su peso molecular expresado en gramos; el peso atómico del oxígeno es 16 y el del hidrógeno 1, por lo que el peso molecular del H2O es 16+2=18, y un mol de agua son 18 gramos). En un mol de cualquier sustancia hay 6,022 x 1023 moléculas, el famoso número de Avogadro, por lo que, redondeando, en las mil lágrimas de María había unos dos cuatrillones de moléculas. Si el ciclo del agua las distribuye homogéneamente entre unos mil trillones de litros, habrá, unas dos mil moléculas por litro, o sea unas cuatrocientas en un vaso de agua normal. Un resultado sorprendente, que da idea del enorme número de moléculas que hay en una pequeña cantidad de cualquier sustancia.

En cuanto al número de libros escribibles, nadie se ha animado a calcularlo, así que lo dejo pendiente y le añado un más difícil todavía: calcular el número de cuadros pintables.

El teorema dorado

Y como últimamente hemos hablado de probabilidades y de números grandes, es obligado referirse a la ley de los grandes números. Ya en el siglo XVI, el matemático italiano Gerolamo Cardano afirmó, sin demostrarlo de forma rigurosa, que la precisión de una estadística aumenta con el número de pruebas; pero hubo que esperar hasta principios del XVIII para que Jakob Bernoulli (no confundir con su sobrino Daniel, que formuló el conocido principio de hidrodinámica que lleva su nombre) demostrara matemáticamente y cuantificara la “ley de los grandes números” propuesta por Cardano. El matemático suizo, que tardó más de veinte años en desarrollar su demostración, la llamó su “teorema dorado”, aunque ya nadie denomina así al teorema de Bernoulli.

Esta línea de investigación matemática fue desarrollada, entre otros, por Poisson, que fue quien popularizó, en el siglo XIX, la expresión “ley de los grandes números”, que ha acabado imponiéndose a pesar de no ser del agrado de algunos matemáticos, que se resisten a introducir términos imprecisos, como “grande” o “pequeño” en el lenguaje matemático. Coloquialmente, se suele usar la expresión “ley de los grandes números” para indicar que un suceso improbable acabará produciéndose casi con seguridad tras un número de intentos o posibilidades lo suficientemente grande.

Y para terminar, un par de acertijos relacionados con el tamaño de los números:

¿Cuál es el mayor número que puede formarse con tres doses? ¿Y con cuatro doses? ¿Y con n doses?

¿Qué es mayor, la raíz cuadrada de 2 o la raíz quinta de 5?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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