El teorema de Napoleón

Como vimos la semana pasada, los números complejos, además de servir para descubrir tesoros enterrados, constituyen, a pesar de su incierto estatuto ontológico, una poderosa herramienta matemática.

Con un abordaje similar al de la localización del tesoro enterrado, se pueden demostrar numerosos teoremas geométricos, como el famoso “teorema de Napoleón”. Las comillas indican que no hay que entender el nombre literalmente, pues es muy dudoso que el autor del teorema fuera realmente Napoleón Bonaparte. Coxeter y Greitzer, en su libro Geometry Revisited, afirman que “la posibilidad de que Napoleón supiese suficiente geometría como para obtener este resultado es tan cuestionable como que supiese suficiente inglés como para componer el famoso palíndromo ABLE WAS I ERE I SAW ELBA (Hábil fui antes de ver Elba)”. Es más probable que el teorema fuera demostrado por su amigo Lorenzo Mascheroni, o por algún otro de los ilustres matemáticos con los que Bonaparte solía relacionarse, como Laplace, Lagrange o Fourier. Y algunos opinan que podrían haberlo demostrado, cien años antes, Torricelli o Fermat, que estudiaron construcciones geométricas muy similares. En cualquier caso, ha pasado a la historia como el teorema de Napoleón, y dice así:

Si sobre los tres lados de un triángulo cualquiera construimos sendos triángulos equiláteros exteriores (o interiores), los centros de dichos triángulos son a su vez los vértices de un triángulo equilátero (llamado triángulo de Napoleón).

Situando el problema en el plano complejo, como hicimos con el mapa del tesoro, es fácil demostrar el teorema; pero también se puede atacar con otras herramientas, como la geometría analítica, la trigonometría o a partir de determinadas simetrías. Invito a mis sagaces lectoras/es a intentar demostrar el teorema de Napoleón con su herramienta favorita.

Y tras demostrarlo -o darlo por demostrado- no es difícil demostrar que el centro del triángulo de Napoleón coincide con el baricentro del triángulo original (recordemos que el baricentro, centroide o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas).

El problema de Napoleón

No hay que confundir el teorema de Napoleón con el problema de Napoleón, propuesto por él y resuelto por Mascheroni, que consiste en dividir una circunferencia en cuatro partes iguales (o lo que es lo mismo, hallar los vértices del cuadrado inscrito) utilizando solo un compás (¿te atreves a intentarlo?). Mascheroni lo incluyó en su libro Geometría del Compasso (1797), en el que demostró que cualquier construcción geométrica que se puede realizar con regla y compás también se puede hacer solo con compás. Por cierto, Mascheroni dedicó su influyente libro a su amigo y protector Napoleón Bonaparte.

También hay algunos problemas de ajedrez relacionados con Napoleón, que era un gran aficionado a este juego y un ajedrecista más que aceptable. Uno de los más famosos es un final artístico compuesto por Alexander Petroff en el siglo XIX. El autor lo denominó “La retirada de Napoleón”, ya que está inspirado en la derrota del ejército francés en la Batalla de Moscú de 1812 (si encuentras la solución, entenderás por qué).

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