Equiedros

En relación con nuestro apócrifo teorema de Napoleón III de la semana pasada, he aquí lo que dice Alberto Adán para el caso particular en el que el tetraedro de partida es regular:

“El volumen del tetraedro (B) formado por los centros de sendos tetraedros superpuestos sobre las caras de un tetraedro regular (A) es el mismo que el volumen del tetraedro de partida, es decir, A y B son del mismo tamaño. Razonamiento: en un tetraedro regular, la distancia desde su centro hasta un vértice (Dv) es el doble de la distancia desde su centro hasta el centro de una cara (Dc), o sea Dv = 2 × Dc . Los tetraedros A y B tienen su centro en el mismo punto. La distancia del centro hasta el vértice de B es igual a DvB = DcA (del centro de A al centro de su cara) + DcA (del centro de la cara al centro del tetraedro superpuesto a esa cara, que es un vértice de B) = 2 × DcA = DvA. Es decir, DvB = DvA, así que los tetraedros A y B tienen el mismo tamaño”.

Si el tetraedro de partida no es regular sino solo equiédrico (con las cuatro caras iguales, pero no regulares), hallar el correspondiente “tetraedro de Napoleón” es bastante más complicado (tanto que ningún lector se ha animado a abordar la cuestión, que por lo tanto queda pendiente). Cabe preguntarse, de entrada, si a partir de cualquier triángulo se puede construir un tetraedro cuyas cuatro caras sean iguales al mismo, ¿puedes demostrar que es así o encontrar un contraejemplo?

¿Y si el triángulo de partida es un triángulo egipcio? Recordemos que el triángulo egipcio o triángulo sagrado es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5, y que se denomina así porque los antiguos egipcios, aunque no es seguro que conocieran el teorema de Pitágoras, sí sabían que en un triángulo de lados 3, 4 y 5 el ángulo opuesto al lado mayor es recto, propiedad que utilizaban habitualmente al planificar sus construcciones monumentales y arquitectónicas. Pues bien, ¿puedes construir un “tetraedro egipcio”, cuyas cuatro caras sean triángulos egipcios iguales? ¿Cuáles son sus características?

Además del tetraedro equiédrico (con su hipotético tetraedro de Napoleón asociado) y del caso particular del tetraedro egipcio, ¿se te ocurren otros tetraedros singulares?

Otros “equiedros”

Como es bien sabido, los cinco sólidos platónicos (tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) son los únicos poliedros regulares convexos (¿cómo le demostrarías a un escéptico con escasos conocimientos matemáticos que no puede haber ninguno más?). Además, hay cuatro poliedros regulares no convexos, conocidos como sólidos de Kepler (o de Kepler-Poinsot): el pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro. En la figura adjunta, el primero y más conocido de ellos, el pequeño dodecaedro estrellado.

Pero si la única condición es que todas las caras sean iguales, pero no necesariamente regulares, y tampoco se pide que sean iguales sus diedros y ángulos poliédricos, el número de “equiedros” aumenta considerablemente (¿infinitamente, tal vez?).

Aprovechando la similitud de poliedros de distintos tipos con algunos adornos navideños, invito a mis sagaces lectoras y lectores a explorar el fascinante mundo de los equiedros y a compartir sus hallazgos.

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