El tetraedro y la serpiente

El tetraedro de Reeve y la serpiente de Winkler: dos sencillos objetos matemáticos de interesantes implicaciones

Peter Winkler.
Peter Winkler.

La fórmula de Pick, que, como se dijo la semana pasada, permite hallar la superficie de un polígono reticular en función de sus puntos interiores y perimetrales, no puede ser más sencilla:

S = i + p/2 -1

donde i es el número de puntos interiores y p el número de puntos perimetrales. Las distintas maneras de demostrar este teorema dieron lugar a una animada discusión entre los lectores, en la que se llegó a plantear si el de Pick es un verdadero teorema o, simplemente, “una fórmula que funciona”, como argumentó Francisco Montesinos (ver la primera veintena de comentarios de la entrega anterior). La cuestión no es baladí, pues entre lo que llamamos “teoremas” y lo que llamamos “propiedades” la diferencia no es cualitativa sino de grado, ya que en cualquier premisa matemática están presentes todas sus implicaciones. ¿Es un teorema que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º? ¿Y la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice? Se podría argumentar que esto último es evidente (basta con darse cuenta de que tienen el mismo ángulo suplementario, es decir, de que les falta lo mismo para llegar a 180º); pero el concepto de “evidente” es muy subjetivo, y nos remite, una vez más, a la vieja paradoja sorites o “del montón”, de la que ya nos hemos ocupado en más de una ocasión. Manuel Amorós lo ha expresado de una manera no por humorística menos elocuente: “Si no me cuesta entenderlo, es fórmula; si me cuesta entenderlo, es lema: si no entiendo un pimiento, es teorema”. (Cabría añadir: si lo entiendo, pero no puedo demostrarlo, es conjetura).

En cuanto a la tentación de ampliar el teorema de Pick al espacio tridimensional, John Reeve demostró en 1957 que no es posible, a partir del siguiente contraejemplo:

Consideremos un tetraedro cuyos vértices son los puntos (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0) y (1, 1, r) de unos ejes de coordenadas espaciales, donde r es un número natural (entero y positivo). En la figura adjunta, vemos el tetraedro de Reeve, de base fija y altura variable, cuando r toma los valores 2, 3 y 4 respectivamente. ¿De qué manera este tetraedro demuestra la inaplicabilidad del teorema de Pick en el espacio 3D? Y tras esta pregunta de dificultad media, una fácil y otra difícil: ¿Cuál es el volumen del tetraedro de Reeve? ¿Es aplicable la conclusión de inaplicabilidad del teorema de Pick en 3D a otras dimensiones?

En cuanto a las cuestiones relativas al ostomachion, al parecer no han despertado, por ahora, el interés de mis sagaces lectoras/es (no puedo creer que se les resistan), así que quedan pendientes.

El juego de la serpiente

Volviendo desde la retícula tridimensional a la cuadrícula bidimensional por excelencia, el tablero de 8x8, y retomando el tema de los juegos de estrategia segura abordado en semanas anteriores, Ignacio Alonso propone un problema procedente de la muy recomendable colección de puzles matemáticos de Peter Winkler:

Adán empieza su juego de la serpiente (nada que ver con el de Google) marcando una casilla cualquiera de un tablero de ajedrez. A continuación, Eva marca una casilla ortogonalmente adyacente a la marcada por su compañero. Y así, por turnos, van marcando cada uno una casilla adyacente a la última marcada, formando una serpiente en el tablero. El juego termina cuando uno de los dos no puede marcar ninguna casilla, y con ello pierde la partida.

¿Hay alguna casilla que garantice la victoria de Adán si la marca en su primera jugada? Dicho de otro modo: ¿es el de la serpiente de Winkler un juego de estrategia segura?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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Sobre la firma

Carlo Frabetti

Es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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