La caja de Arquímedes

En la variante más sencilla del nim, mencionada la semana pasada, que consiste en ir retirando de 1 a 3 unidades de una fila de 20 ―pongamos que son cerillas―, para ganar hemos de dejarle 5 a nuestro contrincante en nuestra penúltima jugada, pues entonces, coja las que coja, en la siguiente jugada le dejaremos la última cerilla. Y para dejarle 5, antes hemos de dejarle 9, y antes 13… Es decir, gana quien va dejando sobre la mesa un múltiplo de 4 más 1 cerillas. Y como al principio hay 20, si el primer jugador retira 3 y deja 17 (16 + 1) tiene asegurada la victoria.

En cuanto al tablero de ajedrez con 8 fichas por bando que avanzan por las columnas, es equivalente a una variante del nim con 8 filas de 6 cerillas en cada una y pudiendo retirar en cada turno todas las cerillas que se quiera de una misma fila. En este caso ganaría el segundo en jugar -pongamos que son las negras-, cuya estrategia consistiría en hacer el mismo movimiento que las blancas, pero en la columna simétrica respecto a la mitad del tablero.

Y con respecto a la “partida de ajedrez perfecta”, en la que ambos jugadores juegan de la mejor manera posible, hay un amplísimo consenso en que terminaría en tablas, unos pocos ―poquísimos― expertos creen que ganarían las blancas y nadie piensa que pudiera haber una estrategia ganadora para las negras; pero no hay demostraciones rigurosas ni es probable que las haya en breve, dada la enorme complejidad del juego, cuyas posiciones posibles son del orden de los septillones.

El ostomachion

Y del familiar tablero cuadrado dividido en 64 casillas iguales a otro menos conocido -pero también fascinante- dividido en 14 partes distintas y aparentemente caprichosas: el ostomachion, un rompecabezas milenario del mismo tipo que el tangram (aunque parece ser que ambos juegos se desarrollaron de manera independiente), conocido también como loculus archimedius (cajita de Arquímedes), pues el gran matemático griego lo estudió en el siglo III a. C., según consta en una fragmentaria copia bizantina conocida como Palimpsesto de Arquímedes.

Al igual que en el tangram, un primer desafío consiste en desordenar las piezas y meterlas de nuevo en su cajita cuadrada, lo cual puede hacerse de distintas maneras (17.152, para ser exacto), y las piezas también se pueden reordenar formando un rectángulo (¿de qué dimensiones, si tomamos como unidad la doceava parte del lado del cuadrado?), así como numerosas siluetas más o menos reconocibles, como las mostradas en la figura. El nombre del rompecabezas (literalmente “batalla de huesos”) sugiere que en origen era un juego con piezas móviles y reversibles para varios jugadores, que competían para ver quién lograba componer con mayor fidelidad determinadas siluetas.

Para formar cuadrados y rectángulos puede servir una hoja de papel cuadriculado; pero para componer siluetas menos simples es conveniente recortar las piezas en una lámina de cartón o comprar en una tienda especializada una versión en plástico o madera. Largas e instructivas horas de diversión -o desesperación- garantizadas.

Aunque, como primera providencia, invito a mis sagaces lectoras/es a calcular las áreas de todas y cada una de las piezas (con respecto a la mayor unidad que dé áreas enteras) y a sacar las conclusiones pertinentes.

Y como última cuestión, cabe preguntarse si es casual que el ostomachion tenga exactamente el doble de piezas que el tangram o…

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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