Polígonos reticulares

La multicolor ilustración del ostomachion de la semana pasada se podría haber resuelto con solo tres colores sin que dos piezas contiguas fueran del mismo color, como se ve en la figura enviada por Salva Fuster, en la que además se indican las áreas de las piezas.

Esta es la forma más reducida de expresar las áreas relativas de las piezas con números enteros, puesto que se toma como unidad la menor de ellas. Si queremos que también los lados se expresen mediante números enteros, lo cual facilita los cálculos, podemos utilizar como unidad lineal la doceava parte del lado, con lo que el área pasa a ser de 144 unidades cuadradas (¿cuántas de ellas corresponden a la pieza mayor?).

Además, la elección de esta unidad facilita la construcción de figuras, pues muchos de los lados de las piezas miden un número entero de unidades, con lo que es más sencillo compararlos entre sí. Y entre las figuras que se pueden construir con todas las piezas del ostomachion, es especialmente interesante el rectángulo (de hecho, a veces el rompecabezas viene en una caja rectangular), que, como pista, diré que hay una “línea de fractura” vertical que lo divide en dos partes iguales que parecen cuadrados (¿pueden serlo?). ¿Pueden construirse otros rectángulos de dimensiones distintas? Invirtiendo una de las piezas, sí, como el de 6x24, hallado también por Fuster (que no en vano significa carpintero) con un ostomachion de fabricación casera. ¿Y sin invertir ninguna pieza?

Casualmente (o tal vez no) en este caso también hay una línea de fractura central que divide el rectángulo en dos partes iguales: dos dominós de 6x12. ¿Será siempre así en todos los rectángulos posibles (incluido el cuadrado) o se puede construir alguno sin líneas de fractura verticales?

Teorema de Pick

Al encajar el ostomachion en una retícula de 12x12, sus piezas se convierten en polígonos reticulares, que son aquellos polígonos simples (o sea, sin agujeros) cuyos vértices coinciden con otros tantos vértices de una cuadrícula, lo que equivale a decir que tienen coordenadas enteras con respecto a unos ejes cartesianos.

En 1899, el matemático austríaco George Alexander Pick demostró el teorema que lleva su nombre, que permite hallar con facilidad el área de un polígono reticular a partir del número de vértices de la cuadrícula que quedan dentro del polígono (i) y del número de vértices que hay sobre los lados del mismo (p). Así, en la figura adjunta i = 15 y p = 10.

Invito a mis sagaces lectoras/es a hallar la sencilla fórmula que da el área del polígono en función de i y p. No pido que demuestren el teorema de Pick (aunque no estaría de más que lo intentasen), sino que, observando las piezas del ostomachion, así como esta última figura, hallen una fórmula (insisto, muy sencilla) que permita hallar sus respectivas áreas en función del número de sus puntos interiores y perimetrales. Es fácil encontrar esta fórmula reticular en la gran retícula de internet; pero no se trata de eso, sino de deducirla “fermianamente” (como hemos visto en otras ocasiones, Fermi tenía una especial habilidad para sacar conclusiones acertadas a partir de datos fragmentarios). Pista: la fórmula de Pick se parece formalmente a la de Euler para los poliedros: C + V = A + 2 (caras más vértices igual a aristas más dos).

Y hablando de poliedros, es tentador intentar ampliar el teorema de Pick a tres dimensiones para hallar el volumen de un poliedro reticular en función del número de sus puntos interiores y fronterizos; pero en 1957 John Reeve demostró que no es posible, y lo hizo mediante un ingenioso contraejemplo que, en su honor, se denomina tetraedro de Reeve. Pero ese es otro artículo.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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