Estrategia segura

Los juegos de estrategia segura son aquellos en los que uno de los dos jugadores, que puede ser quien hace el primer movimiento o quien hace el segundo, siempre gana si efectúa en todo momento las jugadas correctas. Y también hay juegos de estrategia segura que terminan necesariamente en empate si ambos jugadores hacen siempre la mejor jugada.

Si en el ajedrez hubiera una estrategia ganadora segura para las negras (que son las que hacen el segundo movimiento), posibilidad que se planteó la semana pasada, las blancas podrían hacer una jugada “nula” (por ejemplo, sacar un caballo y luego devolverlo a la posición de partida) para usurpar el papel “segundón” de las negras, lo que demuestra que una partida de ajedrez en la que ambos jugadores juegan de la mejor manera posible solo puede terminar en tablas o con la victoria de las blancas, ya que la jugada inicial (apertura) puede ser ventajosa o indiferente, pero no perjudicial. ¿Es correcto este razonamiento o tiene algún punto débil?

El alquerque y el molino, como hemos visto en entregas anteriores, son juegos de estrategia segura que terminan en empate si ambos jugadores juegan de la mejor manera posible, y lo mismo ocurre con las damas en el tablero de 8x8 y con doce fichas por bando, derivadas del alquerque. Sin embargo, en el caso de las damas polacas, en un tablero de 10x10 y con veinte fichas por bando, aún no se ha podido demostrar (que yo sepa) que la partida termine necesariamente en empate si se sigue la estrategia óptima, aunque se considera que eso es lo más probable.

El nim y sus variantes

Uno de los juegos de estrategia segura más sencillos y populares es el nim, del que hay numerosas variantes. La más simple consiste en poner 20 objetos pequeños (monedas, cerillas, guijarros…) en fila e ir quitando por turnos entre una y tres unidades; pierde el que se lleva la última pieza. En esta modalidad hay una sencilla estrategia ganadora, ¿cuál es? ¿Cómo se puede generalizar el resultado a n objetos, de los que se pueden retirar entre 1 y p cada vez?

Para complicar un poco la cosa, se pueden disponer los objetos -pongamos que son cerillas- en varias filas de distinto número; por ejemplo, en cuatro filas de 1, 3, 5 y 7 cerillas respectivamente. Los dos jugadores, por turnos, retiran de una a tres cerillas, todas de la misma fila, y pierde el que se queda con la última. En este caso la estrategia ganadora no es tan simple, pero existe. ¿Cuál es? ¿Quién tiene asegurada la victoria si juega correctamente, el primero o el segundo en jugar?

Otra variante consiste en poder llevarse todas las cerillas que se quiera de una misma fila, y el número de filas y de cerillas por cada fila se puede variar a voluntad. Lógicamente, cuantas más filas y cerillas, más complicado se vuelve el juego.

Volviendo al tablero de ajedrez (siempre volvemos a él), hay una variante del nim que se juega con fichas de damas sobre un tablero de 8x8. Un jugador coloca ocho fichas blancas en la primera fila y el otro ocho fichas negras en la última, como se ve en la figura. Luego, por turno, cada jugador mueve una de sus fichas hacia delante tantas casillas como desee, hasta que la ficha blanca y la negra de una misma columna lleguen a casillas contiguas, en cuyo caso ninguna de las dos puede seguir moviendo. Gana el jugador que hace el último movimiento. ¿Por qué es este juego una variante del nim? ¿Cuál de los dos jugadores gana necesariamente si efectúa las jugadas correctas y cuál es su estrategia ganadora?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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