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Cómo ganar siempre a los palillos

Fernando Corbalán nos enseña a ganar siempre en los dos juegos propuestos... pero hay que ser el primero en mover

Ya hay ganador (en este caso ganadores) del quinto desafío que organiza EL PAíS en el primer centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Esta semana, la ganadora de una biblioteca matemática como la que se ofrece el domingo con EL PAÍS ha sido María Lasanta, que ha acertado correctamente los dos problemas. Luis A. Bernal, de Etxebarri (Vizcaya), ha ganado por su parte un lote de libros por acertar correctamente el primer problema -también respondió correctamente al segundo, todo hay que decirlo. En esta ocasión se recibieron 1.137 respuestas dentro del plazo previsto. El 97% contestó correctamente a la primera cuestión y el 90% a la segunda. Este domingo, el libro que se entrega con EL PAÍS, a un precio de 9,95 euros, es Los secretos del número Pi, de Joaquín Navarro.

Recordemos el juego consistía en buscar sendas estrategias ganadoras para dos juegos que arrancaban con 19 palillos sobre la mesa formando la palabra PAIS. En el primer juego, los contricantes deben retira sucesivamente uno, dos o tres palillos y gana quien vacía la mesa. En el segundo se pueden retirar tantos como se quieran pero siempre de la misma letra cada vez y gana también el que no deja ninguno a su rival.

Vamos con las soluciones. Estos dos juegos forman parte de una familia de juegos del tipo Nim en los que hay una serie de montones de objetos iguales (palillos, fichas) de lo que los que en cada jugada se pueden retirar algunos. De todos ellos existe un método para encontrar la estrategia ganadora que consiste escribir el número de objetos de cada montón en base 2 y sumar de forma independiente cada uno de los órdenes de potencias de dos que tenemos. Pero en nuestros dos juegos la estrategia ganadora puede encontrarse usando algunas de las estrategias globales de pensamiento, como veremos a continuación.

Tal y como cuenta en el vídeo de la derecha Fernando Corbalán, catedrático de secundaria, y subdirector de DivulgaMAT, la estrategia ganadora corresponde en ambos casos al jugador que abre el juego.

Juego 1. Se puede encontrar la solución empezando por el final. Si un jugador consigue dejar solo cuatro palillos al otro, habrá ganado: su rival tendrá que quitar uno, dos o tres, y le dejará siempre la opción de dejar la mesa en blanco. Para asegurar esa situación en la que se dejan cuatro palillos al adversario habrá que dejarle ocho en la jugada anterior, y 12 en la anterior y 16... esto eso, siempre un número de palillos que sea múltiplo de cuatro. Como en el inicio hay 19 palillos, un número que no es múltiplo de cuatro, la estrategia ganadora consiste en quitar tres -y por tanto dejar 16- y a partir de ahí quitar el complementario a cuatro de los que va quitando su contricante (si retira uno, tres; si retira dos, dos; y si retira tres, uno), con lo que el número de palillos sobre la mesa pasará a 12, 8, 4... y ganará.

Juego 2. La estrategia ganadora también la tiene el jugador que empieza pero la solución es otra: pasar a nuestro contrincante una situación simétrica de palillos y ante cada jugada suya, hacer también la simétrica. Así nos aseguramos de que si él tiene palillos para sacar, nosotros también tendremos y seremos nosotros quienes dejemos la mesa vacía. En el caso propuesto el primer jugador puede llegar a esa situación quitando un palillo de la A (o de la P o de la S), con lo que quedarán cuatro figuras formadas por 5 4 4 5 palillos sobre la mesa. A partir de ese momento, el jugador solo tiene que hacer lo que haga su rival.

En algunos correos se nos ha reprochado que no incluyéramos la tilde en la palabra PAÍS. Como curiosidad diremos que si la hubiéramos puesto, sumando un palillo más a la I, la estrategia ganadora en ambos casos habría correspondido al segundo jugador. ¿Podría el lectorexplicar por qué?

Hemos recibido algunos correos preguntando si se puede concursar desde el extranjero y optar a un premio. La respuesta es sí. Asi que animamos a seguir participando por ejemplo a Moisés Bolívar, que nos escribe desde Chile; a César Conrado Fajardo, que lo ha hecho desde Arauca (Colombia); a Agustín Peinado (Argentina); a Luis Carbonell, cubano de Sancti Spiritus que nos escribe desde Miami; a Ancus Röhr, que ha concursado desde Zúrich o a Irina y Leon Bykov, de Cleveland (Ohio, EE UU), por solo citar a algunos participantes que nos han escrito desde otros países.

También animamos a colegios e institutos a participar en esta iniciativa, tal y como lo ha hecho, por ejemplo los alumnos de 2º ESO del colegio Oak House School de Barcelona -con respuesta correcta, por cierto.

El próximo jueves publicaremos el sexto desafío.