El forjador de rayos

El “mono oral” de la semana pasada suscitó una amplia e interesante discusión (ver comentarios de El sistema diédrico). Se trata de la representación proyectiva de un sólido de Steinmetz bicilíndrico: la intersección de dos cilindros del mismo radio cuyos ejes son perpendiculares entre sí (también hay un sólido de Steinmetz tricilíndrico, que es la intersección de tres cilindros de igual radio cuyos ejes son perpendiculares entre sí y se cortan en un mismo punto). Se trata de una forma bien conocida por los arquitectos, pues cuando dos corredores de medio cañón se cruzan perpendicularmente dan lugar a una bóveda, muy habitual en las iglesias románicas, denominada bóveda de claustro, que es un bicilindro de Steinmetz disecado.

Estos sólidos se denominan así en honor del prolífico matemático e ingeniero alemán Charles Proteus Steinmetz (1865-1923), que determinó su volumen. Aunque no fue el primero: el genial Arquímedes, que se anticipó en dos mil años al cálculo integral, ya lo había determinado. ¿Puedes emular a Arquímedes y calcular el volumen de la intersección de dos cilindros de radio unidad sin recurrir a las integrales? ¿Y el área de su superficie? ¿Ves alguna relación con el volumen y el área de la esfera?

Hablábamos hace poco de las aplicaciones de los números complejos (por ejemplo, para descubrir tesoros enterrados o demostrar el teorema de Napoleón), y hay que señalar que Steinmetz los aplicó eficazmente al estudio de los circuitos de corriente alterna, y sus trabajos, tanto teóricos como experimentales, jugaron un papel fundamental en la sustitución de la corriente continua por la alterna y, por ende, en el desarrollo industrial de Estados Unidos a finales del siglo XIX y comienzos del XX. Además, ideó un nuevo y muy seguro tipo de pararrayos que le valió el sobrenombre de Forjador de Rayos.

En cuanto a las tres proyecciones ortoédricas mostradas la semana pasada, hay un error en una de ellas (¿puedes decir en cuál?). Y este es, en perspectiva, el sólido que da lugar a otra de las proyecciones:

El teorema de Napoleón III

Y volviendo al teorema de Napoleón, nos preguntábamos en su día si sería extrapolable al espacio tridimensional (de ahí lo de Napoleón III: en este caso III significa 3D). Es decir:

Si, dado un tetraedro cualquiera, construimos sobre cada una de sus caras sendos tetraedros equiédricos (con las cuatro caras iguales), sus respectivos baricentros (y también los incentros y los circuncentros) serán los vértices de un nuevo tetraedro que, por analogía con el triángulo de Napoleón, denominaremos “tetraedro napoleónico”. ¿Cómo será: regular, semejante al tetraedro inicial…? ¿Y qué pasa con los vértices singulares de los cuatro tetraedros, es decir, los opuestos a las caras del tetraedro inicial? Pero antes de abordar el complejo y poliédrico (nunca mejor dicho) teorema de Napoleón III, una tarea más sencilla:

Obviamente, si partimos de un tetraedro regular, los centros de los cuatro tetraedros construidos sobre sus caras serán los vértices de un tetraedro napoleónico también regular. ¿Puedes calcular su volumen? Al igual que Caperucita a la casa de su abuela, puedes llegar a la solución por el camino más largo o por el más corto.

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