Poliedros sorprendentes

La singularidad de un dado tetraédrico, como vimos la semana pasada, estriba en que no ofrece una cara a la mirada cenital, sino un vértice, lo que obliga a numerarlo de una manera peculiar. Pero el tetraedro, debido a que tiene el mismo número de caras que de vértices, tiene otra particularidad mucho más consustancial, por así decirlo: si unimos los centros de sus caras, obtenemos otro tetraedro (¿de qué tamaño?).

En el plano, algo equivalente ocurre con todos los polígonos regulares: si unimos los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero, obtenemos otro triángulo equilátero de área cuatro veces menor; si unimos los puntos medios de los lados de un cuadrado, obtenemos otro cuadrado de área mitad; si unimos los puntos medios de los lados de un hexágono regular, obtenemos otro hexágono regular… ¿de qué tamaño?

Sin embargo, si unimos los centros de las caras de un cubo, obtenemos un octaedro. ¿Cómo podemos obtener otro cubo, uniendo puntos relevantes, a partir de un cubo inicial?

Si cortamos un cubo con un plano perpendicular a una de las caras, obtenemos, como sección, un cuadrado o un rectángulo; pero variando los ángulos de corte podemos obtener distintas figuras, algunas de ellas sorprendentes. ¿Podemos cortar un cubo, mediante un plano, de forma que la sección sea un hexágono regular?

Poliedros convexos

Los cinco poliedros regulares o sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) son convexos, lo que significa que todos los ángulos interiores formados por sus caras son menores de 180º. Una definición más técnica y rigurosa es que, para todas las caras de un poliedro convexo, todo el poliedro queda a un mismo lado (en el mismo semiespacio) del plano al que pertenece dicha cara.

Las caras de un poliedro regular son cuadrados (cubo), las de otro son pentágonos regulares (dodecaedro) y las de tres de ellos son triángulos equiláteros (tetraedro, octaedro e icosaedro). Solo estos tres polígonos pueden formar poliedros regulares. ¿Por qué?

Todos los poliedros convexos, tanto los regulares como los irregulares, cumplen la fórmula de Euler: C + V = A + 2, donde C es el número de caras, V es el número de vértices y A es el número de aristas (¿puedes demostrar esta sencilla fórmula?). Así, el cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas: 6 + 8 = 12 + 2.

Como hemos visto, el tetraedro es el único poliedro regular que tiene el mismo número de caras que de vértices (a lo que debe su singular capacidad “autorreproductora”); pero hay infinitos poliedros irregulares con el mismo número de caras que de vértices. Por ejemplo, las pirámides de Egipto tienen 5 caras (4 triángulos laterales y 1 base cuadrada) y 5 vértices. ¿Puedes dibujar un poliedro con 9 caras y 9 vértices?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.