Dados y caras

A primera vista, puede parecer que esconder un as en la manga, como nuestro hipotético tahúr de la semana pasada, no supone una gran ventaja, pues la probabilidad de que le sirvan alguno de los tres ases restantes es baja (¿cuál exactamente?). Pero la noche es joven para el jugador profesional, y tarde o temprano podrá usar su arma secreta. ¿Cuántas manos ha de jugar para que su probabilidad de obtener al menos un -otro- as sea mayor que la de no obtenerlo?

Por otra parte, y aunque se suele hacer hincapié en el as como carta oculta, cualquier otra carta en la manga, incluso un modestísimo 2, supone una ventaja decisiva por el mero hecho de poder elegir entre seis cartas en lugar de cinco para formar distintas combinaciones. El as es sin duda la más conveniente, y no solo porque es la de mayor valor, sino también porque puede ir en ambos extremos de una escalera: detrás del rey o delante del 2 (o de la carta más baja si no se juega con la baraja completa).

Si en un dado cúbico pudiéramos colocar los números del 1 al 6 de cualquier manera, habría 30 posibilidades distintas. Empecemos colocando el 1 en una cara; en la opuesta puede ir cualquiera de los otros cinco números; y en cada uno de estos casos, tras colocar un tercer número en una de las caras laterales, en la opuesta podemos poner cualquiera de los tres restantes; tras lo cual, la pareja de números que quedan se puede colocar de dos maneras, una imagen especular de la otra; por lo tanto, las posibilidades son 5 x 3 x 2 = 30.

En los dados reales, sin embargo, las caras opuestas siempre suman 7. Obviamente, solo hay una manera de colocar el 1 y el 6 en caras opuestas, y luego solo hay una manera de colocar el 2 y el 5 en oposición, pues las cuatro caras laterales son intercambiables; pero una vez colocados estos cuatro números, hay dos maneras distintas de situar el 3 y el 4, una imagen especular de la otra, por lo que hay dos modelos distintos de dados “ortodoxos”. Mirando el vértice en el que confluyen los números 1, 2 y 3, en un caso se suceden en el sentido de las agujas del reloj y en el otro en el sentido contrario. No he podido averiguar si en la práctica se dan los dos tipos con la misma frecuencia, pero tiendo a pensar que predomina el dado “dextrógiro”. ¿Por qué?

Y un sencillo truco matemágico: pedimos a alguien que forme una columna poniendo tres o más dados uno encima de otro, y sin más que echarle a la pila un rápido vistazo calculamos cuánto suman las caras ocultas. ¿Cómo?

Queda pendiente la cuestión de por qué en los dados reales las caras opuestas siempre suman 7. En principio, no parece que haya ninguna razón para que sea así, pues la distribución de los números no afecta a las probabilidades. Y sin embargo…

Otros dados

Los dados de seis caras son los más habituales, pero no los únicos. Desde siempre se usa también el “dado de dos caras”: una simple moneda, y los juegos de rol han popularizado el uso de una gran variedad de dados atípicos. Los poliedros regulares nos brindan otros tantos tipos de dados con distinto número de de caras equiprobables: 4 (tetraedro), 6 (cubo), 8 (octaedro), 12 (dodecaedro) y 20 (icosaedro). Por cierto, ¿cuál de los cinco “dados platónicos” es sustancialmente distinto de los demás?

Invito a nuestras/os sagaces lectoras/es a imaginar otros modelos de dados con distintos números de valores equiprobables (o no).

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.