La ciencia del juego

Se puede demostrar, y así lo han hecho algunos lectores, que es imposible numerar las caras de dos cubos de forma que adosándolos convenientemente podamos formar todos los días del mes, tal como planteábamos la semana pasada. Efectivamente, el 0, el 1 y el 2 han de estar en ambos cubos, puesto que hemos de poder formar los números 11, 22, 01, 02, 03…, 09. Quedan, por tanto, tres caras libres en cada cubo, seis en total, y siete dígitos (del 3 al 9) a situar en ellas, por lo que falta una cara. Pero como dice la famosa consigna de mayo del 68 (cuyo 50º aniversario celebramos estos días), quienes idearon el calendario de cubos no sabían que era imposible y lo hicieron. Se da la favorable circunstancia de que el 9 es un 6 invertido, por lo que en este caso un mismo dígito vale por dos. De modo que numerando las caras de los cubos de la forma 0-1-2-3-4-5, 0-1-2-6-7-8 podemos formar, adosándolos convenientemente, todos los días del mes. Obviamente, esta forma de numerar las caras de los cubos no es única. ¿De cuántas maneras diferentes podemos hacerlo?

Al lanzar cinco dados, como ocurre en el póquer de dados, cada una de las 6 caras del primero puede emparejarse con cada una de las 6 caras del segundo; cada una de estas 36 parejas puede formar trío con cada una de las 6 caras del tercer dado; cada una de estas 216 tríadas… En total, tenemos 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7776 posibilidades. Por lo tanto, la probabilidad de sacar a la primera un repóquer concreto, por ejemplo, de ases, es 1/7776. Como hay 6 posibles repóqueres, la probabilidad de sacar uno cualquiera es 6 veces mayor: 1/1296.

La probabilidad de sacar un póquer de ases en el orden AAAAX (siendo X un no as cualquiera) es 1/6 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 5/6 = 5/7776; como X puede ocupar 5 lugares distintos, la posibilidad de que salgan 4 ases en cualquier orden es 5 veces mayor: 25/7776. Y la probabilidad de sacar cualquier póquer a la primera será 6 veces mayor que la de sacar un póquer concreto: 150/7776.

Buenas manos

Como ya hemos visto en alguna ocasión, fue precisamente estudiando las posibles combinaciones de dados en un juego de azar como Pascal empezó a desarrollar el cálculo de probabilidades. Si la ciencia es un juego, como sugiere el nombre de esta sección, no es menos cierto que el juego es ciencia, o puede serlo, al menos en parte.

Pasando de los dados a las cartas, algunos lectores han analizado las probabilidades de obtener distintas manos al jugar al póquer. Y aunque el póquer es en gran medida un juego psicológico, en el que los “faroles” son tan importantes o más que las buenas manos, conviene tener una idea aproximada de las probabilidades relativas a cada situación para poder jugar “científicamente”.

Veamos, sin entrar en detalles, las probabilidades de obtener de entrada algunas manos:

Póquer: 0,00024

Full: 0,00144

Color: 0,00196

Trío: 0,02113

Estas son las probabilidades si se juega con las 52 cartas de la baraja. A veces se apartan las de menos valor y se juega solo con 36 o 40 cartas. ¿Puede esto afectar al valor relativo de determinadas juagadas?

Con un trío servido, lo normal es pedir dos cartas con la esperanza de sacar un póquer o un full. ¿Cuál es la probabilidad de mejorar la jugada?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.