Empaquetamiento compacto

El problema del mensaje secreto planteado la semana pasada se resuelve, paradójicamente, complicándolo más: el caballero añade un segundo candado a la caja y se la envía de vuelta a la dama, que quita el primer candado y vuelve a mandársela al caballero, que ahora no tiene más que abrir su propio candado. Un sistema lento pero seguro, pues todo el tiempo el mensaje queda fuera del alcance del indiscreto mensajero.

Si cambiamos los candados por grandes números primos, tenemos un eficaz sistema de encriptado ampliamente difundido. Imaginemos que, en tiempos preinformáticos, A quiere compartir con B dos números secretos: 1901 y 2713 (o la diferencia entre ambos: 2713 – 1901 = 812). A multiplica ambos números y envía el resultado a B por correo o por teléfono sin temor, pues, aunque alguien sospechara que 5157413 es el producto de dos números significativos, sin ayuda de un ordenador es sumamente difícil hallar esos factores (y con ayuda de un ordenador también, si los primos son lo suficientemente grandes). B, a su vez, multiplica el número recibido por otro primo de cuatro cifras, por ejemplo, 1301, y envía el producto, 6709794313, a A, que lo divide por uno de sus dos primos, por ejemplo, 1901, y le envía el resultado a B, que al dividirlo por su propio primo obtiene el otro primo de A: 3529613/1301 = 2713.

He utilizado primos de solo cuatro cifras para ilustrar este sistema de encriptado (conocido como RSA por sus creadores: Rivest, Shamir y Adleman), pero en la actualidad, y dada la enorme capacidad de cálculo alcanzada por los ordenadores, los primos utilizados han de ser de cientos de cifras para garantizar la seguridad.

En relación con los demás problemas de la semana pasada, ver la sección de comentarios correspondiente, donde han sido ampliamente analizados.

De las cajas a los paquetes

Aunque no todos: el problema 2 no mereció la atención de mis sagaces lectoras/es, que se centraron en el mensaje secreto y las bolas viajeras. Y sin embargo es un interesante problema de empaquetamiento que vuelvo a proponer acompañado de una vista cenital de la caja (sin tapa):

En una caja ortoédrica hay tres bolas de 10 centímetros de diámetro tangentes entre sí y tangentes a las paredes, la base y la tapa de la caja. ¿Cuánto miden los lados de la caja?

El apilado y el empaquetamiento de esferas del mismo tamaño es una cuestión que ha interesado a matemáticos e ingenieros desde antiguo. El matemático y astrónomo británico Thomas Harriot (que, entre otras cosas, introdujo en la notación matemática los símbolos > y <) fue el primero en calcular, a mediados del siglo XVI, el número de balas de cañón que hay en una pila en forma de pirámide de base cuadrada (¿cuántas son?), y Gauss demostró que la máxima densidad obtenible al llenar el espacio tridimensional de esferas iguales es aproximadamente 3/4 (exactamente π/3√2). La densidad de un empaquetamiento es la fracción de espacio ocupada por las esferas. ¿Cómo es este empaquetamiento de máxima densidad?

Bajando de 3 dimensiones a 2, el empaquetamiento de esferas en el espacio se convierte en el empaquetamiento de círculos en el plano. Y de nuevo fue Gauss quien demostró que la máxima densidad se consigue, en este caso, mediante la disposición hexagonal, en la que cada círculo está rodeado por otros 6 tangentes a él. ¿Puedes calcular la densidad de este empaquetamiento? Para evitar el efecto distorsionador de los bordes de una superficie real, el problema se plantea en un plano infinito.

Si los círculos así empaquetados fueran elásticos y crecieran apretándose unos contra otros, formarían una retícula hexagonal. Eso es, de hecho, lo que ocurre en un panal de abejas.

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.