Cajas enigmáticas

Sobre los números de Dyson, de los que nos ocupábamos la semana pasada, he aquí lo que ha averiguado nuestro Mensajero Utópico con paciencia y un ordenador:

Solo aparecen estos Dyson entre los primeros 2.000 millones de números enteros.

Se me ocurrió juntarlos a ver qué pasaba y… ¡bang!

Concatenándolos a sí mismos, todos los Dyson que he encontrado generan otro Dyson, con el mismo multiplicador.

Esto asegura un suministro infinito de estos números, pero no explica nada, me parece.

He aquí la prueba de la infinitud. Los números están formateados con una puntuación especial para resaltar los grupos:

102564.102564 x 4 = 4.102564.10256 (parásito)

102564.102564.102564 x 4 = 4.102564.102564.10256

142857.142857 x 5 = 7.142857.14285 (seudoparásito)

142857.142857.142857 x 5 = 7.142857.142857.14285

230769.230769 x 4 = 9.230769.23076 (seudoparásito)

Solo hace falta concatenarlos una vez para ver que se pueden concatenar indefinidamente.

(Para más detalles, ver comentarios de la semana pasada).

Cajas, bolas y algo más

Los problemas probabilísticos y distributivos con cajas que contienen bolas de distintos colores son un clásico, y hemos visto no pocos de ellos en entregas anteriores; pero las cajas, esos objetos tan intrigantes y simbólicos, dan para más. Por ejemplo:

1. Un caballero y su dama, temporalmente separados por circunstancias adversas, se comunican por mediación de un mensajero. En un momento dado, la dama le envía al caballero un mensaje secreto y, para que no pueda leerlo el indiscreto mensajero, lo manda dentro de una caja cerrada con un candado. El caballero no tiene la llave y la dama no puede enviársela, pues la lleva colgada del cuello con una cadena que no puede romper. Tampoco se pueden romper el candado ni la caja. Sin embargo, el caballero acaba leyendo el mensaje. ¿Cómo lo consigue? (Pista: hay cierta analogía entre el “truco” del caballero y una forma de intercambiar mensajes cifrados).

2. En una caja rectangular (ortoédrica, para ser más preciso) hay tres bolas de 10 centímetros de diámetro tangentes entre sí y tangentes a las paredes, la base y la tapa de la caja. ¿Cuánto miden los lados de la caja? Cada bola es tangente a las otras dos, y todas ellas son tangentes a al menos una de las paredes.

3. A un lado de una habitación hay un montón de naranjas y al otro hay 10 cajas que tenemos que llenar de acuerdo con las siguientes reglas:

Cada caja tiene una capacidad distinta: en la primera caja cabe 1 naranja, en la segunda 2, en la tercera 3 y así sucesivamente hasta llegar a la décima caja, en la que caben 10 naranjas.

En cada viaje podemos meter naranjas en todas las cajas que queramos, pero metiendo el mismo número de naranjas en cada caja.

En cada viaje podemos coger del montón cuantas naranjas queramos; pero hay que meterlas todas en cajas, no puede quedar ninguna naranja suelta.

¿Cuántos viajes habrá que hacer, como mínimo, para llenar todas las cajas?

Y no podía faltar uno de cajas y bolas bicolores típico, como el siguiente:

4. Tenemos tres cajas iguales, cada una de las cuales contiene dos bolas blancas y una bola negra. Cogemos al azar una bola de la primera caja y la metemos en la segunda, y luego cogemos una bola de la segunda y la metemos en la tercera. ¿Cuál es la probabilidad de que, tras estas dos operaciones, al sacar al azar una bola de la tercera caja sea blanca?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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