Los enigmáticos ‘Repfigit’

La famosa sucesión de Fibonacci ha servido de base a numerosas construcciones numéricas

Leonardo de Pisa, más conocido como 'Fibonacci', en una imagen de 1850 de la obra 'Dall'opera I benefattori dell'umanità; vol. VI'.
Leonardo de Pisa, más conocido como 'Fibonacci', en una imagen de 1850 de la obra 'Dall'opera I benefattori dell'umanità; vol. VI'.

En respuesta a las cuestiones planteadas la semana pasada, en la mitad de las familias con 4 hijos hay 3 de un sexo y 1 del otro, y solo en aproximadamente un tercio de esas familias hay 2 niños y 2 niñas (para más detalles, ver cometarios del 1 al 15 de Probabilidades paradójicas).

En cuanto al bridge, la distribución de palos más probable en la mano de 13 cartas es 4-4-3-2, y se da, por término medio, una de cada cinco veces, mientras que la distribución que muchos creen más probable, 4-3-3-3, es bastante menos frecuente: aparece en una de cada nueve o diez manos (ver comentario 73 y relacionados de Probabilidades paradójicas).

Números de Keith

Tras varias semanas dedicadas al apasionante —y a menudo desconcertante— asunto de las probabilidades, volvamos a un viejo amigo que nunca deja de depararnos sorpresas: Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, introductor del sistema posicional decimal en Europa y creador de la famosa sucesión numérica que lleva su nombre; una sucesión que no solo aparece por todas partes, tanto en la naturaleza como en diversas áreas de las matemáticas, sino que no cesa de dar lugar a otras secuencias y construcciones numéricas basadas en ella.

Uno de los más “extraños” (en el sentido que los matemáticos dan al adjetivo) derivados de la sucesión de Fibonacci lo constituyen los números de Keith o “reproductores de Fibonacci”, como los designó Michael Keith, el matemático que los introdujo en 1987, también conocidos como Repfigit (Repetitive Fibonacci-like Digits).

Un número de Keith es un entero positivo tal que aparece como término en una sucesión tipo Fibonacci formada a partir de sus dígitos

Un número de Keith es un entero positivo tal que aparece como término en una sucesión tipo Fibonacci formada a partir de sus dígitos de la siguiente manera: los primeros n términos de la sucesión son los n dígitos del número de izquierda a derecha, y cada término sucesivo es la suma de los n anteriores. Así, 14 da lugar a la secuencia:

1, 4, 5, 9, 14…

Por lo tanto, 14 es un número de Keith, puesto que el quinto término de la sucesión es el propio 14. En este caso, al partir de un número de dos cifras, se trata de una sucesión de Fibonacci propiamente dicha, pues cada término es la suma de los dos anteriores; pero en el caso de un número de tres cifras cada término sería la suma de los tres anteriores; por ejemplo, en el caso de 197:

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197…

Los Repfigit son números “extraños” en el sentido de que, al igual que ocurre con los primos, no hay un algoritmo para buscarlos, razón por la que se conocen muy pocos y ni siquiera se sabe si hay o no infinitos de ellos. Y, en cierto modo, están emparentados con los números narcisistas, vanidosos y vampiros, vistos en semanas anteriores, puesto que se autorreproducen.

Los ejemplos vistos más arriba, 14 y 197, son los menores repfigit de dos y tres cifras respectivamente. ¿Puedes encontrar algunos más?

El mayor número de Keith conocido (que yo sepa) es el 251.133.297, que da lugar a una secuencia en la que cada término es la suma de los nueve anteriores:

2, 5, 1, 1, 3, 3, 2, 9, 7, 33, 64, 123…

Si quieres entretenerte en comprobar que, efectivamente, el número de partida forma parte de la secuencia, necesitarás mucho papel y más paciencia.

El 14 y el 28 forman un grupo de Keith, pues ambos son Repfigit y además uno es múltiplo del otro. ¿Puedes encontrar algún otro grupo de Keith?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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