Matemáticas

Probabilidades paradójicas

Las paradojas probabilísticas aparecen por todas partes, desde una familia numerosa hasta una partida de bridge

Protagonistas de la película 'Doce en casa'.
Protagonistas de la película 'Doce en casa'.Disney

De los cuatro problemas probabilísticos de la semana pasada, el primero suscitó un gran número de comentarios y soluciones diversas, ya que para resolverlo hay que partir de algunos supuestos opinables. Está tomado del libro de José Pérez Vilaplana Problemas de cálculo de probabilidades (Paraninfo, 1965), y según el autor la solución es 8/13, lo que da pie a plantear el metaproblema de averiguar de qué supuesto parte.

El segundo se puede -y debe- resolver sin cálculos, pues basta con darse cuenta de que las bolas blancas y negras son intercambiables, por lo que, dada la simetría de la situación, la probabilidad pedida es 1/2.

El tercer problema también está tomado del libro de Pérez Vilaplana (muy recomendable, por cierto). Se resuelve viendo que, teniendo en cuenta el criterio de divisibilidad por 11, hay que dividir 59 en dos partes cuya diferencia sea 0, 11 o múltiplo de 11. La única posibilidad es 59 = 35 + 24; por lo tanto, las siete cifras del número han de ser tales que las cuatro que ocupan un lugar impar sumen 35 y las tres que ocupan un lugar par sumen 24. La única posibilidad de que cuatro dígitos sumen 35 es que sean tres 9 y un 8, y para que tres dígitos sumen 24 han de ser: tres 8; un 9, un 8 y un 7; o dos 9 y un 6. Viendo las distintas combinaciones de las tres ternas y de la cuaterna y combinándolas entre sí, se llega a la probabilidad 4/21.

El cuarto problema está emparentado, aunque no de forma evidente, con el dilema de Monty Hall, del que nos hemos ocupado en más de una ocasión, y que a su vez es una variante de la paradoja de la caja de Bertrand (a la que dediqué un artículo hace un par de años). Hay que tener en cuenta que, si en el primer lanzamiento sale cara, es más probable (el doble concretamente) que sea la moneda con dos caras. Es decir, la probabilidad de que sea la moneda cara-cara es 2/3 y en ese caso es seguro que en el segundo lanzamiento también saldrá cara, y la probabilidad de que sea la moneda cara-cruz es 1/3 y en ese caso la probabilidad de que salga cara en el segundo lanzamiento es 1/2, por lo que la probabilidad pedida es 2/3 x 1 + 1/3 x 1/2 = 5/6.

Veamos otro par de probabilidades paradójicas que con frecuencia dan lugar a estimaciones erróneas:

Niños y palos

Mucha gente cree que, en una familia con cuatro hijos, la distribución por sexos más probable es mitad y mitad, o sea, dos de cada; sin embargo, es fácil ver que lo más probable es que haya tres vástagos de un sexo y uno del otro. ¿Y en el caso de cinco hijos, cuál es la distribución de sexos más probable? ¿Y en el caso de seis? ¿Hay alguna pauta a medida que aumenta el número de hijos?

En el bridge la cosa se complica, pues no hay dos posibilidades (sexos) sino cuatro (palos). La distribución más improbable, para una mano de bridge, es, obviamente, que las 13 cartas sean del mismo palo (la probabilidad es de 1 entre 158.753.389.899); pero ¿cuál es la distribución de palos más probable? Los jugadores suelen creer que es 4-3-3-3, pero se equivocan. ¿Cuál es en realidad, y cuál es su probabilidad?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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