Números vampiros

Veíamos en el capítulo anterior que el número vanidoso 1.233 es igual al cuadrado de sus dos primeras cifras más el cuadrado de las dos últimas: 1.233 = 12² + 33², y nos preguntábamos si hay algún otro. Yo solo conozco uno más: 8.833 = 88² + 33², el mismo que ha hallado nuestro comentarista habitual Salva Fuster. ¿Hay algún otro número de cuatro cifras con esta propiedad? ¿Hay algún número de seis cifras tal que el cuadrado de las tres primeras más el cuadrado de las tres segundas sea igual al número en cuestión?

Y de los números vanidosos, que se gustan a sí mismo, podemos pasar a los números vampiros, que se niegan a desaparecer y regresan tras su supuesta destrucción. Por ejemplo, 2.817 = 27 x 81: las cuatro cifras del número reaparecen en sus factores. Otro ejemplo: 1.435 = 35 x 41. Obviamente, los números vampiros son un subgrupo de los números de Friedman, que son aquellos enteros positivos que pueden expresarse utilizando sus propios dígitos en operaciones sencillas (suma, resta, multiplicación, división y potenciación).

Y hablando de persistencia vampírica y de números que se obtienen a partir del producto de otros, ¿cómo se genera esta secuencia?: 699, 486, 192, 18, 8

¿Hay más números de cuatro cifras que puedan descomponerse en dos factores de dos cifras de manera que a ambos lados de la igualdad encontremos los mismos dígitos? ¿Hay números vampiros de más cifras? No valen los casos triviales que se pueden obtener añadiendo ceros, como 350 x 410 = 143.500.

Y hablando de persistencia vampírica y de números que se obtienen a partir del producto de otros (pista), ¿cómo se genera esta secuencia?:

699, 486, 192, 18, 8

Otra pista: la secuencia nos revela que 699 es un número de persistencia 4.

¿Ya has deducido en qué consiste la persistencia de un número? Pues ahora empieza el verdadero desafío:

¿Cuál es el menor número de persistencia 4, como el 699? ¿Y el menor número de persistencia 1, 2, 3, 5, 6, 7…?

Y para terminar (de momento) con los números vanidosos y autorreplicantes, ¿qué tiene de especial el 90.625?

Duelo a tres

La semana pasada suscitó un intenso debate un problema de “duelo a tres” similar a otro del que nos ocupamos hace meses, pero más escurridizo (ver comentario 17 y siguientes de Números narcisistas). Como el original está en inglés, pues procede de la interesante web NMM’s PUZZLE, lo traduzco para conocimiento y solaz de todos:

Alice, Bob y Carol conciertan un duelo triple. Alice no es buena tiradora: solo da en el blanco 1/3 de las veces. Bob es mejor: da en el blanco 2/3 de las veces. Carol es infalible: siempre acierta. Disparan por turnos: primero Alicia, luego Bob, luego Carol, luego de nuevo Alicia y así hasta que solo quede uno de los tres. ¿Cuál es la mejor opción de Alice en su primer turno?

Este problema falsamente simple me ha recordado otro similar que encontré en un delicioso -a la par que inquietante- libro de Clifford A. Pickover titulado The Mathematics of Oz, mental gymnastics from beyond the Edge, ambientado en el mundo fantástico credo por L. Frank Baum. El siniestro problema dice así:

El tío Henry, la tía Em y Dorothy meten sus brazos sucesivamente y en este orden en lava hirviendo. Las probabilidades de sobrevivir a la prueba son del 50 %, y gana el primero que sobreviva. ¿Cuáles son las probabilidades de ganar de cada uno?

¿Demasiado fácil? Supongamos que el macabro juego no termina con el primer superviviente, sino con el primer muerto. ¿Qué probabilidades de sobrevivir tiene Dorothy?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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