Números narcisistas

Hay números que parecen gustarse a sí mismo tanto como el mítico Narciso

'Eco y Narciso', de John William Waterhouse
'Eco y Narciso', de John William Waterhouse

Hay una manera sencilla e ingeniosa de demostrar que un número periódico puro, como 0,327327327…, es igual a una fracción cuyo numerador es el período y cuyo numerador es un número formado por tantos 9 como dígitos tiene dicho período (ver artículo anterior). Llamando n al número en cuestión, tenemos:

n = 0,327327327…

1000n = 327,327327327…

1000n – n = 999n = 327,327327327… – 0,327327327… = 327

n = 327/999

En cuanto a la cuestión de la partida de ajedrez infinita, hay una forma sencilla (aunque ajedrecísticamente absurda) de lograrla moviendo solo los caballos (¿cuál es?).

Si algún lector sigue buscando un número que sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, puede dejar de hacerlo: no existe ninguno, salvo los casos triviales del 0 y el 1 (¿cómo se demuestra?)

Si algún lector sigue buscando un número que sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, puede dejar de hacerlo: no existe ninguno, salvo los casos triviales del 0 y el 1 (¿cómo se demuestra?). Sin embargo, hay cuatro números iguales a la suma de los cubos de sus dígitos: 153, 370, 371 y 407; curiosamente, dos de ellos, 370 y 371, son consecutivos (¿por qué?).

Hay tres números que son iguales a la suma de las cuartas potencias de sus dígitos: 1.634, 8.208 y 9.474.

Hay seis números que son iguales a la suma de las quintas potencias de sus dígitos: 4.150, 4.151, 54.748, 92.727, 93.084 y 194.979.

Solo hay un número igual a la suma de las sextas potencias de sus dígitos: 548.834.

Hay cinco números que son iguales a la suma de las séptimas potencias de sus dígitos: 1.741.725, 4.210.818, 9.800.817, 9.926.315 y 14.459.929.

Hay tres números que son la suma de las octavas potencias de sus dígitos: 24.678.050, 24.678.051 y 88.593.477.

Hay cuatro números iguales a la suma de las novenas potencias de sus dígitos: 146.511.208, 472.335.975, 534.494.836 y 912.985.153.

Y, por último, el mayor de este tipo de números que conozco (pero no he investigado a fondo la cuestión y es muy probable que ya se conozcan algunos mayores) es 4.679.307.774, que es igual a la suma de las décimas potencias de sus dígitos.

Obsérvese que en todos los casos hay soluciones cuyo número de dígitos es igual al exponente al que hay que elevarlos para que su suma coincida con el número inicial, y en varios casos todas las soluciones son de este tipo. ¿Podemos sacar alguna conclusión de esta coincidencia? Lo que sí podemos es darles un nombre acorde con lo mucho que parecen gustarse a sí mismos: números narcisistas.

Perfectos y pluscuamperfectos

Un número que es igual a la suma de sus dígitos elevados todos ellos a una misma potencia se denomina “invariante digital perfecto” (PDI, según sus siglas en inglés); y si la potencia es igual al número de dígitos, el número se denomina “invariante digital pluscuamperfecto” (PPDI), que, es, por tanto, sinónimo de “número narcisista”.

A la vista de los PDI enumerados anteriormente, que son todos los de orden igual o inferior a 10, parecería que la mayoría de ellos son PPDI; pero no conviene sacar conclusiones apresuradas. No se sabe si hay infinitos PDI o no; sin embargo, se ha demostrado que el número de PPDI es finito, y que no puede haber ninguno de más de 58 dígitos. La demostración rigurosa no es sencilla; pero mis sagaces lectoras/es pueden intentar establecer un límite superior para el tamaño de los PPDI.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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Sobre la firma

Carlo Frabetti

Es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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