El enigmático Dr. Matrix

Nos preguntábamos la semana pasada cuál es la cadena más larga que se puede construir con tres dígitos -1, 2 y 3- sin repetir ninguno ni ninguna secuencia de dígitos de forma consecutiva. La respuesta es que no hay límite de longitud para tal cadena, pues a partir de la sucesión de Thue podemos obtener fácilmente una cadena infinita.

Como señala nuestro usuario destacado Francisco Montesinos, es paradójico que una sucesión en la que cada término incluye al anterior —y basada, por tanto, en repeticiones recurrentes— sirva de punto de partida para construir una cadena sin repeticiones. Paradójico, pero cierto. Observemos las dos secuencias:

01101001…

1321201…

¿Cómo se pasa de la primera sucesión -la de Thue- a la segunda? Muy sencillo (muy sencillo hacerlo, aunque no tanto descubrirlo): vamos formando todas las parejas consecutivas de dígitos contiguos de la sucesión de Thue: 01, 11, 10, 01, 10, 00, 01… y luego efectuamos la siguiente sustitución: cada 01 lo remplazamos por un 1, cada 10 por un 2, cada 11 por un 3 y cada 00 por un 0. Dejo a mis sagaces lectoras/es la tarea, más sencilla, de pasar de esta cadena de cuatro símbolos -0, 1, 2 y 3- a una de tres que cumpla la condición requerida, así como la aplicación de dicha cadena a una estrategia que permita eludir la regla ajedrecística de las tres repeticiones.

El prolífico matemático húngaro Paul Erdös propuso una variante del problema anterior en la que también se consideran iguales los bloques que contienen los tres dígitos en la misma proporción; así, 00122 = 21020, porque en ambos bloques hay un 1, dos 2 y dos 0. ¿Cuál es la cadena más larga que podemos construir con esta nueva restricción?

En el extremo opuesto de las cadenas de infinitos dígitos sin repeticiones, las que son pura repetición monótona, como:

1/3 = 0,3333333…

Cuando, como en este caso, inmediatamente después de la coma se repite indefinidamente el mismo dígito o bloque de dígitos, el número se denomina periódico puro, y en el colegio aprendimos la forma de convertirlo en una fracción; así:

0,327327327… = 327/999

En el numerador escribimos el período -es decir, el bloque que se repite- y en el denominador tantos 9 como dígitos hay en dicho bloque. Pero ¿cómo se demuestra esta igualdad? (Sin efectuar la división, se entiende).

Más Matrix

La semana pasada mencionaba, en relación con el problema de los tres dígitos, al Dr. Matrix, un personaje creado por Martin Gardner (obsérvese que Matrix es una metátesis de Martin con la n final convertida en una enigmática x). Veamos otro de los acertijos planteados por este misterioso numerólogo (en el buen y literal sentido del término: experto en números; nada que ver con las supuestas prácticas adivinatorias que usurpan el nombre).

El número 153 tiene la curiosa propiedad de ser igual a la suma de los cubos de sus dígitos: 153 = 1 + 125 + 27. ¿Hay más números con esta propiedad? (El caso trivial del 1 no cuenta).

Los mejores acertijos dan lugar a variantes y nuevas propuestas, y este es uno de ellos, pues nos invita a generalizar la pregunta a otras potencias:

¿Hay algún número que sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos?

¿Hay algún número que sea igual a la suma de las cuartas potencias de sus dígitos?

¿Hay algún número que sea igual a la suma de las quintas potencias de sus dígitos?

Y así sucesiva e indefinidamente.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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