Gran avance en análisis matemático: resuelven la conjetura de Kakeya en tres dimensiones

Un resultado reciente de la teoría de la medida, incorporado al portal Math Arxiv —aún pendiente de revisión por pares—, está recibiendo un merecido impacto mediático. Se trata de la demostración de que, en tres dimensiones, los conjuntos de Kakeya, aunque de volumen igual a cero, tienen, sin embargo, la dimensión fractal del espacio ambiente tridimensional. Da respuesta a una cuestión básica e intrigante planteada hace más de 50 años en el análisis armónico.

La historia de este logro comenzó antes, en 1917, con un pintoresco problema planteado por el matemático japonés Soichi Kakeya, que preguntaba por el conjunto plano de área mínima dentro del cual pueda moverse una aguja —matemáticamente, un segmento orientado de longitud uno— hasta invertir las posiciones respectivas del ojo y de la punta. Por ejemplo, es posible hacerlo en un círculo de radio ½, cuya superficie es pi/4, y también en un triángulo equilátero de altura 1, de área algo menor. Pero ambos están muy lejos de la respuesta correcta que fue dada, en torno a 1919, por el matemático ucraniano Abram Besicovitch, uno de los padres del área denominada teoría geométrica de la medida.

Curiosamente, Besicovitch ignoraba entonces la pregunta de Kakeya y su motivación provenía de una cuestión fundamental: ¿pueden girarse los ejes de coordenadas para que la integral iterada sea igual a la integral doble, según el método de Riemann? Para darle respuesta negativa construyó un peculiar conjunto en el plano cuya área es cero, pero contiene un segmento de recta de longitud igual a uno —una aguja— en cualquier dirección, y que posteriormente ha sido denominado conjunto de Kakeya, aunque hubiera sido más justo llamarlo de Besicovitch. Lo hizo, además, con una construcción que sirve también para dimensiones mayores. A partir de ella resulta fácil contestar la pregunta de Kakeya: no existe ese conjunto de área mínima, sino que, dada una cantidad de área, por pequeña que sea, siempre hay un conjunto de área menor donde es posible mover la aguja hasta invertir su posición.

En 1970 Charles Fefferman —medalla Fields en 1978— dio un giro de tuerca a esta historia. Utilizó el conjunto de Kakeya para echar por tierra una conjetura señera del análisis armónico, relativa a la convergencia de las sumas esféricas de series e integrales de Fourier en varias variables. Del trabajo de Fefferman surgió la necesidad de conocer mejor las propiedades de los conjuntos de Kakeya y su relación con los operadores de sumación esférica. Y aquella pregunta pasó de ser una mera curiosidad a convertirse en asunto primordial del análisis matemático. De aquello surgió, de manera natural, la pregunta sobre cuál era la dimensión fractal de los conjuntos creados por Besicovitch que ahora ha sido resuelta en el espacio tridimensional.

La dimensión fractal es una generalización del concepto de dimensión para objetos geométricos extraños, como los fractales o el conjunto de Kakeya. Mide de qué manera crece la longitud, área o volumen de un conjunto cuando lo aumentamos con los puntos más próximos —los que están a una distancia del conjunto menor que un cierto valor, que hacemos tender a cero—. En el caso de un segmento de recta vale uno; dos para un rectángulo plano y tres para un cilindro. Sin embargo, hay conjuntos para los que esta dimensión es fraccionaria —por ejemplo, la alfombra de Sierpinski tiene dimensión fractal log(8)/log(3)—, y de ahí el nombre de fractal.

Pese a tener área cero, en dos dimensiones, los conjuntos de Kakeya tienen dimensión fractal dos, como demostró Roy Davies en 1971. Esto es también consecuencia del resultado principal de mi tesis, que hice bajo la dirección de Fefferman en la Universidad de Chicago: se trata de una acotación precisa de un objeto que introduje en aquel trabajo, la función maximal de Kakeya. En dos dimensiones, es un operador que a una función integrable le asigna, en cada punto, el extremo superior de los promedios de la función sobre rectángulos de excentricidad —es decir, cociente entre ancho y largo— prefijada y de dirección arbitraria, que contienen dicho punto. Esos rectángulos, muy largos y estrechos, en dimensiones mayores, se convierten en paralelepípedos, cilindros o tubos y sustituyen a las agujas del planteamiento inicial. La función maximal resultó también tener aplicaciones interesantes a las series e integrales de Fourier.

Entonces no logré hacer funcionar el método en más dimensiones, porque en otras mayores el control del solapamiento de las agujas (paralelepípedos, cilindros o tubos) es mucho más complicado. En años posteriores, se interesaron por el tema otros investigadores como Jean Bourgain —medalla Fields en 1994—, Thomas Wolff, o, más recientemente Nets Katz y Terence Tao —también medalla Fields en 2006— y se lograron progresos parciales, coronados ahora con el resultado en tres dimensiones conseguido por la matemática Hong Wang (Instituto Courant de la Universidad de Nueva York) y el matemático Joshua Zahl (Universidad de British Columbia).

Su prueba, que tuvieron la deferencia de enviarme unas semanas antes de subirla al repositorio abierto Arxiv, permite afirmar que en el espacio tridimensional los conjuntos de Kakeya tienen la dimensión fractal del espacio ambiente, o sea tres. Para ello, emplean —en la estela de mi tesis— complicados cálculos del solapamiento de paralelepípedos en el espacio, basados en la geometría clásica de Euclides, pero de una complejidad combinatoria tal, que su desarrollo necesita más de 120 páginas de intrincados razonamientos. Es un ejemplo de lo que me gusta denominar como “suprematismo en análisis armónico” —por el uso de rectángulos y tubos, similares a los observados en obras del movimiento pictórico ruso—, pero, en su caso, se trata de un suprematismo barroco, si se permite el oxímoron.

De momento, solo funciona en dimensión tres. Además, la estimación de la función maximal, que es el objeto de mayor trascendencia analítica, está todavía por hacer. Aun así, y aunque pasará tiempo hasta que los expertos certifiquen el artículo de Wang y Zahl y este se publique en una buena revista, por la solidez que les otorgan sus trabajos anteriores sobre el tema, parece que estamos ante una joya del análisis armónico.