50 años del cubo de Rubik: ¿Es posible resolverlo si está trucado?

En 1974 el profesor de arquitectura Ernö Rubik inventó una nueva herramienta para ilustrar conceptos geométricos a sus alumnos de la Escuela de Artes Comerciales de Budapest. Medio siglo después, el cubo de Rubik no solo se ha convertido en uno de los juguetes más vendidos de la historia, sino que también ha generado una cultura detrás de él. En todo el mundo existen distintos tipos de torneos centrados en el cubo, se han desarrollado numerosas modificaciones de su diseño, e incluso ha suscitado preguntas de interés para investigadores en matemáticas. Por ejemplo, si se truca el juego, despegando algunas de las pegatinas e intercambiándolas o desmontando sus piezas y volviéndolas a montar, ¿podrá seguir resolviéndose?

En el estudio del cubo de Rubik se emplea un área de las matemáticas denominada teoría de grupos. Este lenguaje permite describir abstractamente los movimientos del cubo y demostrar, por ejemplo, que el cubo original siempre se puede resolver (es, decir, poner cada cara de un único color) en 20 movimientos o menos, independientemente de la disposición de partida. Pero, ¿qué pasa si se modifica un poco su diseño?

Para responder esta pregunta, se utiliza el concepto de configuración legal, que es cualquier estado del cubo de Rubik que se puede resolver. Todas ellas se pueden conseguir a partir del cubo resuelto, concatenando movimientos basados en rotar 90 grados una cara del cubo ―solo hay que invertir los pasos seguidos para resolverlo―. Hay un total de 43.252.003.274.489.856.000 configuraciones legales y cada una de ellas son un elemento de un objeto matemático que llamamos grupo.

Con esta perspectiva, la pregunta anterior se traduce a comprobar si, al permitir movimientos nuevos ―como, por ejemplo, intercambiar colores de piezas del cubo― se crean realmente nuevas configuraciones, que no están dentro de ese grupo. Y si, por tanto, no podrían resolverse; o sí: al trucar el cubo se obtiene otro elemento del grupo, es decir, una configuración legal, resoluble.

Por ejemplo, si se despegan las 54 pegatinas de las piezas del cubo y se vuelven a pegar, aleatoriamente, ¿podríamos haber pasado de un reto complicado a uno imposible? Los conocedores del cubo se darán cuenta rápidamente de la respuesta: las configuraciones legales del cubo siempre cumplen ciertas reglas que sería fácil romper despegando las pegatinas. Es decir, se pueden obtener estados no legales ―irresolubles― de esta forma.

En concreto, en las configuraciones legales, los distintos tipos de piezas del cubo siguen reglas de colocación concretas. Las categorías de piezas son: las que están en el centro ―que se llaman centros―, las que están en el borde ―aristas― y, de estas segundas, las que hacen esquina ―esquinas―. En todo el cubo, las aristas tienen exactamente dos colores diferentes, y hay combinaciones imposibles, ya que las caras opuestas nunca comparten piezas.

En un cubo clásico, el blanco es opuesto al amarillo, el verde al azul y el naranja al rojo. Por ejemplo, si en la cara superior está el color blanco, el amarillo estará en la capa inferior. Por esto, no hay aristas blanco-amarilla, verde-azul ni naranja-rojo. Las esquinas siguen una lógica análoga y los centros deben mantener la misma distribución que en el estado resuelto, ya que son inmóviles respecto de los movimientos de las caras.

Ahora bien, si al modificar el cubo se tiene cuidado de que los colores de las caras de las piezas sigan estas normas –lo que es lo mismo que desmontar el cubo, en vez de intercambiar pegatinas, ya que se estaría respetando la coloración de cada pieza–, ¿se llega a una configuración que, ahora sí, siempre será posible de resolver? La respuesta sigue siendo negativa. De hecho, de todos los posibles cubos modificados de esta manera ―que suman un total de 519.024.039.293.878.272.000 nuevas configuraciones―, solo uno de cada 12 puede resolverse.

Para hacer este cálculo, se emplea concepto de teoría de grupos relacionado con la paridad. Cada movimiento del cubo de Rubik ―no solo la rotación habitual del juego, sino también el intercambio de las piezas― puede pensarse como una permutación de las 20 piezas móviles. Entre ellas, hay un tipo especial, llamada transposición, que consiste en intercambiar dos elementos y dejar el resto fijo. Se dice que una permutación es par si se necesita un número par de transposiciones para obtenerla. Pues bien, tan solo comprobando un sencillo criterio, que trata de la paridad de las permutaciones y otros conceptos básicos, es posible determinar si una configuración es legal o no.

Aplicando este criterio, es posible identificar todas las posibles modificaciones del cubo, resultantes de intercambiar las piezas, que sí tienen solución y llegar a la afirmación anterior: el 91,7% de los cubos trucados nunca se podrán resolver. La paridad de las permutaciones juega un papel importante no solo en el cubo de Rubik, sino también en otros puzles, como por ejemplo el puzle del 15 o en cuestiones más profundas como la resolución de ecuaciones algebraicas.

Yago Antolín es profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid (UCM) y miembro del ICMAT.

Silvia Centenera es graduada en matemáticas por la UCM.

Ágata Timón es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición, traducción y coordinación: Ágata Timón García-Longoria. Es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)