Números vanidosos

No es difícil demostrar que un número narcisista o PPDI (invariante digital pluscuamperfecto) no puede tener más de 60 dígitos (ver comentarios de la semana pasada), pero otra cosa es determinar el mayor de ellos. Nuestro comentarista habitual Juan José Rodríguez podría haberlo encontrado en el este enlace:

En dicha web (magic-squares) se afirma que:

Largest possible PPDI has 39 digits. It is 115,132,219,018,763992,565,095,597,973,971,522,401. It is equal to the sum of the 39th power of its digits.

Pero no he podido contrastar la información ni hallar la demostración de que, efectivamente, ese es el mayor PPDI posible.

La semana pasada vimos todos los números PDI y PPDI hasta el orden 10 incluido. He aquí un PPDI de orden 11:

82.693.916.578 = 8¹¹ + 2¹¹ + 6¹¹ + 9¹¹ + 3¹¹ + 9¹¹ + 1¹¹ + 6¹¹ + 5¹¹ + 7¹¹ + 8¹¹

Y en la misma página encontramos que:

1,180,591,620,717,411,303,424 = 2^70

and the sum of the digits in 2^70 equals 70.

El acento circunflejo ^ significa “elevado a la potencia”, ya que el programa no permite escribir exponentes tan grandes. Por su afinidad con los números narcisistas, a este enorme número (cuya suma de dígitos es igual a la potencia a la que hay que elevar 2 para obtener dicho número) podríamos calificarlo de vanidoso (luego veremos algunos más).

En cuanto a por qué 370 y 371 son consecutivos, la respuesta es muy simple: si un número narcisista termina en 0, el siguiente también será narcisista, ya que terminará en 1 y 1 elevado a cualquier potencia es 1; por tanto, añadimos una unidad al número en sí y otra a la suma de sus dígitos, por lo que se mantiene la igualdad.

La manera más sencilla de realizar la partida de ajedrez interminable,de la que venimos hablando en las últimas semanas, consiste en que ambos jugadores saquen sus dos caballos y vuelvan a meterlos en sus respectivas casillas de salida indefinidamente

Y, para terminar con las cuestiones pendientes, la manera más sencilla de realizar esa partida de ajedrez interminable, de la que venimos hablando en las últimas semanas, consiste en que ambos jugadores saquen sus dos caballos y vuelvan a meterlos en sus respectivas casillas de salida indefinidamente (siguiendo una pauta basada en la secuencia de Thue). Totalmente absurda como partida de ajedrez, pero compatible con las reglas del juego.

Vagamente narcisistas

Como el que acabamos de ver unos párrafos más arriba (2 elevado a 70), hay números que, sin ser narcisistas, nos los recuerdan por la estrecha relación entre potencias y dígitos. Veamos algunos:

17³ = 4.913

4 + 9 + 1 + 3 = 17

¿Hay otro número igual a la suma de los dígitos de su cubo? (Sin contar los casos triviales del 0 y el 1).

1.233 = 12² + 33²

¿Hay otro número igual a la suma del cuadrado de sus dos primeras cifras más el cuadrado de las dos últimas? (Pista: hay uno de la forma aabb, o sea, con las dos primeras cifras iguales y las dos últimas también).

3.435 = 3³ + 4⁴ + 3³ +5⁵

¿Hay otro número igual a la suma de sus dígitos elevados a sí mismos? (Hay uno de nueve cifras: 438.579.088 = 4⁴ + 3³ + 8⁸ + 5⁵ + 7⁷ + 9⁹ + 0⁰ + 8⁸+ 8⁸, pero desconozco si hay alguno más).

Invito a mis sagaces lectoras/es a proponer otros tipos de números vanidosos.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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