Los tesoros matemáticos que esconde el triángulo de Pascal

Cuando uno escucha la palabra triángulo, la primera imagen que le viene a la cabeza es la misma, la que seguramente tendréis ahora mismo en vuestra mente. Pero el tema que nos ocupa hoy no va exactamente de ese tipo de triángulos, sino de un triángulo numérico, una cierta disposición de números en forma de triángulo.

El triángulo de Pascal (o triángulo de Tartaglia) está formado por infinitas filas de números, y se construyen de la siguiente forma:

- La primera fila, la Fila 0, tiene solamente un uno: 1.

- La segunda, la Fila 1, tiene dos unos, a izquierda y derecha del uno anterior: 1 1

- La tercera fila, la Fila 2, se construye así: sumamos los dos números de la anterior y colocamos el resultado, 2, debajo del hueco que dejan dichos números, y a izquierda y derecha colocamos dos unos. Nos queda así: 1 2 1.

- La cuarta fila, y las posteriores, se construyen del estilo a la tercera: debajo de cada hueco entre dos números de la fila anterior escribimos la suma de dichos números, y a izquierda y derecha colocamos dos unos. Por ejemplo, la Fila 3 quedaría así: 1 3 3 1. Y la Fila 4 así: 1 4 6 4 1. En la siguiente imagen podéis ver las primeras nueve filas del triángulo de Pascal:

Su nombre se debe al matemático francés Blaise Pascal (y el otro al matemático italiano Niccolo Fontana, apodado Tartaglia por su condición de tartamudo), aunque parece que este objeto matemático ya era conocido en la antigua China.

Bonito, ¿verdad? Bien, pues en lo que nos queda de artículo vamos a ver unas cuantas interesantes propiedades de este triángulo numérico, algunas de ellas muy populares y otras no tan conocidas y ciertamente curiosas.

Lo primero que vamos a explicar es el porqué de llamar Fila 0 a la primera fila, Fila 1 a la segunda, y así sucesivamente. Una razón podría ser la siguiente: si sumamos los números de la Fila n, el resultado es exactamente 2ⁿ: la suma de los de la Fila 0 es 1, que es 2⁰, los de la Fila 1 suman 2, que es 2¹, los de la Fila 2 suman 4, que es 2², etc:

Pero podríamos dar otra razón: los números de la Fila n son los coeficientes del desarrollo del binomio (a+b)ⁿ. Lo vemos:

- (a+b)⁰=1

- (a+b)¹=1 · a + 1 · b

- (a+b)²=1 · a² + 2 · ab + 1 · b²

- (a+b)³=1 · a³ + 3 · a²b + 3 · ab² + 1 · b³

Veamos ahora algunos objetos matemáticos que podemos encontrar de manera sencilla en el triángulo de Pascal. Por ejemplo, es sencillo encontrar en él los números naturales: están en la diagonal recuadrada de la imagen de la izquierda. Y también es fácil encontrar los números triangulares: aparecen en la diagonal recuadrada en la imagen de la derecha:

Un pelín más escondidos, pero no demasiado, están los números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, etc. Están en la misma diagonal de los triangulares, sumando cada dos consecutivos:

Otra curiosidad numérica es que si el segundo número de una fila es primo, entonces el resto de números de esa fila (salvo los unos de los extremos) son múltiplos de dicho número primo. Por ejemplo, en la Fila 6, el segundo número, 5, es primo, y el resto, 10, es múltiplo de 5; y en la Fila 8, el segundo número, 7, es primo, y el resto, 21 y 35, son ambos múltiplos de 7. Podéis generar vosotros mismos más filas del triángulo y comprobar que esta propiedad se cumple siempre.

Y una más relacionada directamente con las filas: si tomamos cada fila como un número, tenemos las potencias de 11. La Fila 0, 1, es 11⁰, la Fila 1, 11, es 11¹, la Fila 2, 121, es 11², y así sucesivamente… Un momento, ¿qué ocurre, por ejemplo, con la Fila 5, 1-5-10-10-5-1? Pues que, realizando la siguiente operación

1-(5+1)-(0+1)-0-5-1

Obtenemos el número 161051, que es 11⁵. Podéis comprobar que con el resto de filas ocurre lo mismo.

La siguiente propiedad curiosa de este triángulo de Pascal es el llamado stick de Hockey: si comenzáis en un 1 cualquiera y vais en diagonal, la suma de todos los números recorridos es igual al número que os encontréis en la fila siguiente, pero en la diagonal contraria. En la siguiente imagen tenéis algunos ejemplos para que lo entendáis mejor:

Vamos ahora con alguna característica menos evidente, más rebuscada: podemos encontrar la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal. La sucesión de Fibonacci, para quien no la conozca, comienza con F₁=1 y F₂=1, y el resto de términos se forman sumando los dos anteriores: F_n=F_n-1+F_n-2. Concretamente, sería ésta: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. ¿Cómo encontrarla? Echa un ojo a la siguiente imagen:

La sucesión de Fibonacci, muy estudiada y muy comentada en internet (y de la que igual hablamos con mayor profundidad en próximos artículos), aparece en multitud de situaciones en la que no se la esperaba, como ocurre en el triángulo de Pascal. Hay más sucesiones numéricas con esa característica, como la de los números de Catalan, llamada así por el matemático belga Eugène Catalan. Dicha sucesión comienza así: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132… La forma en la que se construye esta sucesión es un poco más compleja, pero si alguien está interesado en verla la tiene aquí.

¿Dónde están los números de Catalan en el triángulo de Pascal? Muy sencillo: tomad la columna central y restadle a cada elemento el número que aparece a su lado en el triángulo:

Como podéis ver, en el triángulo de Pascal aparecen tanto números pares como números impares. Pues si quitamos los pares obtenemos una bonita disposición fractal, conocida como triángulo de Sierpinski:

Y ahora un par de sorpresas que nos da esta magnífica construcción. Para la primera, vamos a trabajar de la siguiente forma. Hemos visto propiedades en las que hay que localizar números, otras en las que hay que sumar los elementos colocados en ciertas posiciones…pero no hemos visto qué ocurre al multiplicar elementos. Pues bien, multipliquemos los elementos de cada fila. Obtenemos así la siguiente lista de números:

{1, 1, 2, 9, 96, 2500, 162000,…}

Vamos ahora a dividir cada número de esa lista entre el anterior, obteniendo esta nueva lista:

{1, 2, 4’5, 10’666…, 26’0417, 64,8,…}

Y ahora volvemos a hacer lo mismo, dividimos cada número de esta nueva lista entre el anterior. Nos queda lo siguiente:

{2, 2’25, 2’370370…, 2’44140625, 2’48832,…}

Y paramos de dividir. Si analizamos lo que ocurre conforme aumenta el valor de n, tenemos que los valores de esta lista se acercan cada vez más al número e. Es decir, realizando las operaciones descritas podemos encontrar el número e en el triángulo de Pascal. Podéis ver una demostración de este resultado aquí.

Seguro que, conforme habéis ido leyendo este artículo, algunos de vosotros os habéis preguntado si hay alguna forma de encontrar el número π en este triángulo. Pues sí, se puede encontrar el número π en el triángulo de Pascal. Y no sólo de una manera, sino de (que yo sepa) al menos de dos formas. Dada la complejidad de las mismas, tanto por los conocimientos previos necesarios como por su explicación, os dejo un enlace en el que podéis ver la explicación de este maravilloso hecho.

Y para finalizar con la descripción de curiosidades de esta maravilla de las matemáticas, no podían faltar las conjeturas. Todo objeto matemático que se precie debe tener alguna conjetura asociada a él, y el triángulo de Pascal no podía ser menos. Es claro que, excepto el 1, todo número entero positivo aparece en el triángulo de Pascal un número finito de veces (¿por qué?). En relación con esto, se conjetura (todavía no está ni demostrado ni refutado) que existe un número M tal que ningún entero positivo aparece más de M veces en nuestro triángulo. Esto es, que el número de apariciones de un entero positivo en el triángulo de Pascal está acotado superiormente, y además esta cota no depende del número. Esta conjetura se denomina conjetura de Singmaster, y la verdad es que, aunque se cree que es cierta, no se tiene mucha información sobre cuál podría ser la cota. Se sabe que hay un número, el 3003, que aparece ocho veces en el triángulo, y no se conoce ninguno más que aparezca tantas veces. Se piensa que la cota puede ser, como mucho, 10 o 12. Pero lo dicho, por ahora no tenemos más información.

Este triángulo tiene muchas otras propiedades que son dignas de destacar, y seguro que muchos de vosotros conocéis alguna que no hayamos comentado por aquí. Sería interesante que, en ese caso, nos las mostrarais en los comentarios. Y para los que no sepáis ninguna más (bueno, también para los que sí conocéis alguna) os dejo un ejercicio para que penséis. En el triángulo de Pascal también tiene cierta relación con los números de Mersenne y, por consiguiente, con números perfectos. A ver quién la encuentra y nos lo explica en los comentarios.