La torre, el cubo y el tablero

La torre de Hanói es un popular rompecabezas ideado por el matemático francés Édouard Lucas a finales del siglo XIX. Consta de tres ejes verticales, en uno de los cuales se apilan un cierto número de discos perforados de tamaños decrecientes, de mayor a menor empezando por abajo. El reto consiste en pasar todos los discos desde el eje en el que están a uno de los otros dos, siguiendo estas sencillas reglas:

• Solo se puede mover un disco cada vez y para moverlo todos los demás tienen que estar ensartados en algún eje.
• Un disco no puede estar sobre otro más pequeño.
• Solo se puede mover un disco que esté en la parte superior de un eje.

Obviamente, cuantos más discos hay, más complicado es el traslado (en las versiones comercializadas del rompecabezas suele haber de cinco a ocho). Dada una torre de Hanói trivial, de un solo disco, es evidente que basta un movimiento para trasladar ese disco a otro eje. Una torre de dos discos también es trivial: trasladamos el menor a uno de los dos ejes libres, el mayor al otro eje libre, y por último ponemos el menor sobre el mayor. Consideremos ahora una torre de tres discos, a los que llamaremos, de menor a mayor, A, B y C. Para el primer movimiento solo hay una opción: trasladar el disco A a uno de los dos ejes libres. Para el segundo movimiento solo hay una opción no repetitiva: pasar el disco B al eje libre. Los siguientes movimientos no son únicos, pero sí bastante obvios: 3) A sobre B, 4) C al eje libre, 5) A al eje libre, 6) B sobre C, 7) A sobre B. La secuencia es, pues, ABACABA.

El cubo

Como vimos la semana pasada, Hamilton estudió en los sólidos platónicos los recorridos que llevan su nombre, que consisten en pasar una y solo una vez por todos los vértices. En el caso de un cubo, si llamamos A a la dirección vertical, B a la horizontal y C a la anteroposterior, partiendo, por ejemplo, del vértice superior izquierdo del cubo y yendo primero hacia abajo, luego hacia la derecha, luego hacia arriba, luego hacia atrás y así hasta completar el sencillo recorrido hamiltoniano, veremos que la secuencia direccional (y dimensional) es ABACABA, la misma que en una torre de Hanói de tres discos. ¿Mera casualidad? Invito a mis sagaces lectoras/es a comprobarlo, hallando la secuencia de traslados para una torre de cuatro discos, y luego buscando un camino hamiltoniano que recorra los vértices de un hipercubo (para quien no tenga acceso directo a la cuarta dimensión, puede servir una proyección tridimensional como la de la figura adjunta). ¿Se observa alguna semejanza entre ambos recorridos?

El tablero

Según una conocida leyenda, el mítico inventor del ajedrez le pidió al rey de la India un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla 64, doblando en cada una el número de granos de trigo de la anterior. Pues bien, este número (18.446.744.073.709.551.615) es igual al número de traslados necesarios para pasar de un eje a otro todos los discos de una torre de Hanói de 64 discos, tantos como casillas tiene el tablero de ajedrez. ¿Otra coincidencia?

Por cierto, si los 64 discos son de oro y los ejes son agujas de diamante, nos hallamos ante la leyenda (apócrifa) de la torre de Brahma, según la cual el mundo se acabará cuando los sacerdotes del templo de Benarés terminen de trasladar todos los discos a otro eje. Pero que no cunda el pánico: aunque los diligentes monjes trasladaran un disco por segundo sin descansar ni un momento, el apocalipsis no sería inminente.

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