Por los caminos de Euler y Hamilton

Con respecto a los “tesoros ocultos” en el triángulo de Pascal-Tartaglia-Jayam, del que nos ocupamos, una vez más, la semana pasada, Francisco Vicente manda, en relación con la secuencia de Fibonacci (ver la nota al pie de la imagen), el siguiente gráfico de creación propia:

Y en relación con la presencia del número e en el triángulo, dice Luca Tanganelli: “Una relación del triángulo de Jayam con e que se me ocurre es la siguiente. Se dibuja el triángulo en su forma centrada, haciendo que la distancia que separa dos números adyacentes sea igual a la distancia entre líneas. Después se traza una parábola que pase por la cúspide y por los extremos de la fila 1-2-1. La relación entre el valor del triángulo en el eje vertical con respecto al valor del triángulo en la parábola, a la misma altura, tiende a e”. Brillante, pero ¿a alguien se le ocurre una relación más sencilla?

Y Salva Fuster plantea una interesante cuestión que someto a la consideración de mis sagaces lectoras/es: “Buscándole tres pies al gato se me ocurre plantear si los números decimales formados como 0,... en los que sustituimos los puntos suspensivos por la concatenación de cifras de los números que forman las diagonales del triángulo, son siempre irracionales (salvo el primero):

0,1111...

0,1234...

0,13610...”

Recorridos eulerianos y hamiltonianos

Hace un par de semanas (ver comentarios de 2024 y los números tetraédricos) surgió una momentánea confusión entre caminos eulerianos y hamiltonianos, que es un buen pretexto para señalar la diferencia entre ambos recorridos, que a menudo se consideran equivalentes, aunque no lo son.

Un camino euleriano recorre todas las aristas de una figura (un grafo, hablando con propiedad matemática) pasando solo una vez por cada una de ellas. El típico pasatiempo consistente en dibujar una figura (por ejemplo, un sobre abierto) sin levantar el lápiz del papel y sin volver a pasar por una línea ya trazada, se resuelve mediante un camino euleriano. Si el camino es cerrado (es decir, si termina en el mismo punto en el que empieza), es un ciclo euleriano. Obsérvese que en el conocido pasatiempo del sobre abierto sí se puede (y de hecho es inevitable) volver a pasar por un mismo vértice, pero no por una misma línea.

En el camino hamiltoniano, sin embargo, se trata de pasar por todos los vértices una sola vez. Como en el caso anterior, si el camino es cerrado se llama ciclo hamiltoniano. Por supuesto, un camino puede ser a la vez euleriano y hamiltoniano (¿qué condición ha de cumplir un camino para ser a la vez euleriano y hamiltoniano?).

Al igual que el recientemente revisitado triángulo de Pascal-Tartaglia, los que conocemos como caminos hamiltonianos ya habían sido estudiados mucho antes por los matemáticos orientales. Ya en el siglo IX, el poeta indio Rudrata habla del “camino del caballo”: un recorrido del trebejo saltarín por todo el tablero pasando una sola vez por cada escaque (¿puedes efectuar ese recorrido?, ¿ves por qué es un camino hamiltoniano?).

Hamilton estudió los recorridos que llevan su nombre en los sólidos platónicos, y en 1857 permitió que se comercializara un rompecabezas basado en los caminos hamiltonianos, consistente en hallar un recorrido por las aristas de un dodecaedro que pasara una sola vez por todos sus vértices (parece ser que las 25 libras que le pagaron en aquella ocasión fue todo el dinero que Hamilton percibió en su vida por sus hallazgos matemáticos). Puedes entretenerte resolviéndolo sin necesidad de echar mano de un dodecaedro propiamente dicho, o sea, tridimensional: su proyección sobre el plano sirve igualmente (así que la primera parte del problema consiste en dibujar un equivalente topológico bidimensional del dodecaedro).

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