Plantación de árboles

El primer problema de la semana pasada atrajo la atención de nuestros comentaristas habituales y dio lugar a interesantes observaciones (ver comentarios de Acertijos de autor). La clave estriba en darse cuenta de que, puesto que el narrador pregunta a las otras nueve personas presentes y averigua que todas ellas han estrechado un número distinto de manos, y puesto que nadie estrecha la mano de su pareja, el número de apretones de las personas consultadas será, respectivamente, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Por tanto, la pareja de quien ha estrechado 8 manos no ha estrechado ninguna (es la única candidata a 0 apretones, puesto que todas las demás personas han estrechado la mano de su pareja). Análogamente, la persona que ha estrechado 7 manos está emparejada con quien ha estrechado 1 (es decir, con quien solo ha estrechado la mano de quien ha estrechado 8), la que ha estrechado 6 con la que ha estrechado 2, la que ha estrechado 5 con quien ha estrechado 3, y la que ha estrechado 4 es la pareja del narrador, que también ha estrechado 4. Es más fácil de ver haciendo un esquema en el que cada una de las 10 personas se representa con un punto y cada apretón de manos con una línea que une dos puntos.

En el problema de los diez enunciados, solo el noveno puede ser verdadero. En la versión original del problema, con 1969 enunciados, solo era cierto el número 1968.

A pesar de la ambigüedad del planteamiento del tercer problema, la solución es única: las cartas son el rey de picas, la reina de picas y la reina de corazones. Pero ¿en qué orden están sobre la mesa?

En cuanto al problema de Sam Loyd, Rafael Granero envía la solución de la figura adjunta, en la que se destruyen todos los cuadrados retirando 10 palillos. ¿Se puede mejorar? La respuesta es sí: se puede conseguir retirando solo 9 palillos. ¿Cómo?

Los árboles de Dudeney

Tras hablar de Sam Loyd, el gran autor de problemas de ingenio estadounidense, en relación con un tema clásico de los acertijos lógicos, como es el de la retirada de palillos, parece adecuado mencionar a su homólogo británico, Henry Dudeney, en relación con otro tema clásico, la plantación de árboles:

Uno de los problemas de este tipo más conocidos consiste en plantar 10 árboles en 5 filas de 4, y la elegante solución no es otra que el pentagrama, con los árboles en las puntas de la estrella y los vértices del pentágono central. Como se aprecia en la figura, el pentágono estrellado no tiene por qué ser regular para que la solución sea válida (a no ser que se especifique que los árboles de cada fila han de ser equidistantes).

Y la solución tampoco tiene por qué ser un pentágono estrellado, como demostró Dudeney hallando otras cuatro soluciones distintas. ¿Puedes encontrar alguna? ¿Puedes encontrarlas todas? Y, para subir nota: las soluciones de Dudeney son todas simétricas (aunque, por supuesto, podemos deformarlas y romper la simetría), pero hay al menos otra solución asimétrica y que no se obtiene por deformación de las anteriores, ¿puedes dar con ella?

Para terminar, y puestos a plantar árboles, que tanta falta hacen en estos tiempos de incendios y deforestaciones, otro clásico relacionado con el teorema de Pappus (del que nos ocuparemos en otro momento):

Un granjero quiere plantar 9 árboles de manera que formen 10 filas rectas de 3 árboles por fila. ¿Puede conseguirlo?

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